7- DETERMINE A TENSÃO DE FLEXÃO PURA E A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ABSOLUTA NAS VIGAS:
B) Se a viga tiver Secão transversal retangular com base de 75 mm e altura de 100 mm.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine duas coisas para a viga com seção retangular de base 75\\ \text{mm} e altura 100\\ \text{mm}:
  • a tensão de flexão pura (ou seja, a máxima tensão normal devido ao momento fletor);
  • a tensão de cisalhamento máxima absoluta (ou seja, a máxima tensão de corte devido ao esforço cortante).
Informações dadas (peguei estes números da imagem enviada):
  • Carga distribuída uniforme: w=30\\ \text{kN/m}.
  • Geometria longitudinal (peguei da imagem): trecho entre o apoio esquerdo e o ponto A é 0{,}3\\ \text{m}; entre A e o apoio direito são 2{,}4\\ \text{m}; e além do apoio direito há um balanço (overhang) de 0{,}6\\ \text{m}. Portanto o comprimento total da viga é L=0{,}3+2{,}4+0{,}6=3{,}3\\ \text{m}.
  • Pelas aparências da figura, a viga é apoiada em duas reações verticais: uma no extremo esquerdo (ponto de apoio na parede) e outra em x=2{,}7\\ \text{m} a partir da esquerda (isto é, a viga tem um apoio a 2{,}7\\ \text{m} e um balanço de 0{,}6\\ \text{m} além desse apoio). (Usei exatamente essas posições para as reações estáticas.)
  • Seção transversal retangular: base b=75\\ \text{mm} e altura h=100\\ \text{mm}. (vou converter para metros quando necessário.)
O que vou determinar a seguir:
  • reações verticais nos apoios (para obter esforços cortantes e momentos internos);
  • diagrama de esforço cortante V(x) e de momento fletor M(x), para achar V_{\max} em valor absoluto e M_{\max} (o momento máximo que gera a maior tensão por flexão);
  • aplicar a fórmula de cisalhamento para seção retangular e a fórmula da flexão \sigma=\dfrac{M\,c}{I} com I da retangular para obter as tensões desejadas.

Passo 2

Calcular as reações verticais dos apoios por equilíbrio estático (usei os comprimentos e a carga retirados da imagem).
  • Comprimento total: L=3{,}3\\ \text{m}.
  • Carga total aplicada (resultante da UDL): W = wL = 30\\ \text{kN/m}\times 3{,}3\\ \text{m} = 99\\ \text{kN}.
  • Posicionamento da resultante (centro da UDL) a partir da esquerda: \dfrac{L}{2}=1{,}65\\ \text{m}.
  • Supondo apoios verticais em x=0 (esquerdo) e x=2{,}7\\ \text{m} (direito). Chamando as reações R_A (esquerda) e R_B (direita), o equilíbrio vertical dá:
R_A + R_B = 99\\ \text{kN}.
Momento em torno do apoio esquerdo (somando momentos positivos no sentido que torna R_B positivo):
R_B\cdot 2{,}7 - W\cdot 1{,}65 = 0
R_B = \dfrac{W\cdot 1{,}65}{2{,}7} = \dfrac{99\cdot 1{,}65}{2{,}7} = 60{,}5\\ \text{kN}.
Logo
R_A = 99 - 60{,}5 = 38{,}5\\ \text{kN}.
Explicando a física por trás (aula rápida):
  • A resultante da carga distribuída é uma força concentrada W aplicada no centro geométrico da carga.
  • Para equilibrar essa força, os apoios verticalmente fornecem reações que satisfaçam soma de forças nula e soma de momentos nula. Usei a equação de momento em torno de um apoio para eliminar a outra reação e resolver diretamente R_B.

Passo 3

Encontrar o esforço cortante V(x) e identificar o valor máximo absoluto de V (vou calcular os valores relevantes e justificar por que o máximo absoluto surge num desses pontos).
Para 0 ≤ x ≤ 2{,}7 (trecho entre os apoios):
V(x)=R_A - w x.
Pontos importantes:
  • Em x=0^+: V(0^+)=R_A=38{,}5\\ \text{kN}.
  • Onde V(x)=0: x=\dfrac{R_A}{w}=\dfrac{38{,}5}{30}=1{,}28333\\ \text{m} (ponto de transição do corte).
  • Em x=2{,}7^-: V(2{,}7^-)=R_A - w\cdot 2{,}7 = 38{,}5 - 30\cdot 2{,}7 = 38{,}5 - 81 = -42{,}5\\ \text{kN}.
Logo, os valores do esforço cortante imediatamente à esquerda dos apoios (e extremos) são:
  • maior positivo imediato: +38{,}5\\ \text{kN} (logo após o apoio esquerdo);
  • maior negativo imediato (em módulo): -42{,}5\\ \text{kN} (logo à esquerda do apoio direito).
Assim o valor absoluto máximo do esforço cortante ao longo da viga é
V_{\max,\text{abs}} = 42{,}5\\ \text{kN}.
Comentário didático:
  • O esforço cortante varia linearmente sob uma carga distribuída uniforme; seus extremos ocorrem tipicamente nos apoios (saltos por reações) ou em pontos de aplicação de forças concentradas. Aqui, o maior módulo aparece próximo ao apoio direito, 42{,}5\\ \text{kN}.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta para seção retangular.
Fórmula (resultado clássico da mecânica dos materiais para retângulo): a tensão máxima de cisalhamento devido a um esforço cortante V numa seção retangular de base b e altura h é
\tau_{\max} = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{V}{A},
onde A=b h é a área da seção. Explicando por que: a distribuição de tensão cortante numa seção retangular é parabólica ao longo da altura e o valor máximo no eixo neutro é 1{,}5 vezes o valor médio V/A.
Aplicando números (converteu-se mm → m):
  • b=75\\ \text{mm}=0{,}075\\ \text{m}.
  • h=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}.
  • A=b h=0{,}075\cdot 0{,}100 = 0{,}0075\\ \text{m}^2.
  • V_{\max,\text{abs}}=42{,}5\\ \text{kN}=42{,}500\\ \text{N}.
Calcule:
\tau_{\max} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{42{,}500}{0{,}0075} = 1{,}5\cdot \dfrac{42{,}500}{0{,}0075}.
Primeiro \dfrac{42{,}500}{0{,}0075}=5{,}666\overline{6}\times 10^{6}\\ \text{Pa}. Multiplicando por 1{,}5:
\tau_{\max}=8{,}5\times 10^{6}\\ \text{Pa}=8{,}5\\ \text{MPa}.
Interpretação: a máxima tensão de cisalhamento absoluta na seção retangular (no eixo neutro) é \mathbf{8{,}5\\ \text{MPa}}.

Passo 5

Determinar o momento fletor máximo M_{\max} (em módulo) para poder calcular a tensão de flexão máxima com a fórmula da flexão.
Para 0 ≤ x ≤ 2{,}7 (entre apoios):
M(x)=R_A x - \dfrac{w x^2}{2}.
O extremo do momento (máximo positivo de flecha) ocorre onde V(x)=0 (derivada do momento é o cortante), isto é em x=\dfrac{R_A}{w}=1{,}28333\\ \text{m}. Substituindo:
M_{\max} = M\!\left(1{,}28333\right)=38{,}5\cdot 1{,}28333 - \dfrac{30\cdot 1{,}28333^2}{2}.
Calcule passo a passo:
  • 38{,}5\cdot 1{,}28333 \approx 49{,}4167\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • 1{,}28333^2 \approx 1{,}64694.
  • \dfrac{30\cdot 1{,}64694}{2}=15\cdot 1{,}64694 \approx 24{,}7042\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
    Logo
M_{\max}=49{,}4167-24{,}7042=24{,}7125\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Verificação de outros pontos:
  • Momento no apoio direito x=2{,}7: M(2{,}7)=38{,}5\cdot 2{,}7 - \dfrac{30\cdot 2{,}7^2}{2} = 103{,}95 - 109{,}35 = -5{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m} (momento negativo menor em módulo).
  • No extremo livre x=3{,}3: M=0 naturalmente.
Portanto o momento máximo em módulo ocorre no ponto onde cortante é zero e vale \mathbf{24{,}7125\\ \text{kN}\cdot\text{m}}.

Passo 6

Calcular a tensão de flexão máxima usando a fórmula da flexão linear:
Fórmula:
\sigma_{\max} = \dfrac{M_{\max}\, c}{I},
onde:
  • M_{\max} é o momento máximo (em N·m),
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (para retângulo c=\dfrac{h}{2}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro ( x-axis horizontal), para retângulo:
I = \dfrac{b h^3}{12}.
Valores numéricos (conversão para SI):
  • M_{\max}=24{,}7125\\ \text{kN}\cdot\text{m}=24{,}712{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m} (ou 24{,}712.5\\ \text{N}\cdot\text{m}; manterei 24{,}712.5\\ \text{N}\cdot\text{m}).
  • c=\dfrac{h}{2}=\dfrac{0{,}100}{2}=0{,}05\\ \text{m}.
  • I=\dfrac{b h^3}{12}=\dfrac{0{,}075\cdot (0{,}100)^3}{12}=\dfrac{0{,}075\cdot 0{,}001}{12}=\dfrac{7{,}5\times 10^{-5}}{12}=6{,}25\times 10^{-6}\\ \text{m}^4.
Agora o cálculo:
\sigma_{\max} = \dfrac{24{,}712{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}\times 0{,}05\\ \text{m}}{6{,}25\times 10^{-6}\\ \text{m}^4} = \dfrac{1{,}235{,}625\\ \text{N}\cdot\text{m}^2}{6{,}25\times 10^{-6}\\ \text{m}^4}.
\sigma_{\max} \approx 197{,}700{,}000\\ \text{Pa}=197{,}7\\ \text{MPa}.
Interpretação rápida:
  • Esse valor é a tensão máxima normal na fibra extrema (superior ou inferior) devido à flexão. Em regiões de momento positivo (sagging) a fibra inferior estará em tração e a superior em compressão; o módulo máximo é 197{,}7\\ \text{MPa}.

Passo 7

Resumo dos resultados e comentários práticos:
  • Tensão de flexão máxima (módulo): \sigma_{\max}\approx 197{,}7\\ \text{MPa}.
  • Tensão de cisalhamento máxima absoluta: \tau_{\max}\approx 8{,}5\\ \text{MPa}.
Observações didáticas e dicas para prova:
  • Sempre calcule primeiro as reações estáticas com soma de forças e momentos antes de desenhar diagramas de V e M.
  • Para seção retangular use \tau_{\max}=\tfrac{3}{2}V/A (valor no eixo neutro) e I=b h^3/12 para flexão.
  • Cuidado com unidades: converta mm para m se usar N e Pa; ou mantenha tudo em mm e N (ex.: I em mm^4) — o importante é consistência.
  • Se precisar da direção do sinal da tensão de flexão, identifique o sinal do momento em cada trecho: momento positivo (concavidade para cima) -> fibra inferior em tração.

Resposta

Tensão de flexão máxima: 197{,}7\\ \text{MPa}.
Tensão de cisalhamento máxima absoluta: 8{,}5\\ \text{MPa}.

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