7- DETERMINE A TENSÃO DE FLEXÃO PURA E A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ABSOLUTA NAS VIGAS:
B) Se a viga tiver Secão transversal retangular com base de 75 mm e altura de 100 mm.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine duas coisas para a viga com seção retangular de base
e altura
:
- a tensão de flexão pura (ou seja, a máxima tensão normal devido ao momento fletor);
- a tensão de cisalhamento máxima absoluta (ou seja, a máxima tensão de corte devido ao esforço cortante).
Informações dadas (peguei estes números da imagem enviada):
- Carga distribuída uniforme:
. - Geometria longitudinal (peguei da imagem): trecho entre o apoio esquerdo e o ponto A é
; entre A e o apoio direito são ; e além do apoio direito há um balanço (overhang) de . Portanto o comprimento total da viga é . - Pelas aparências da figura, a viga é apoiada em duas reações verticais: uma no extremo esquerdo (ponto de apoio na parede) e outra em
a partir da esquerda (isto é, a viga tem um apoio a e um balanço de além desse apoio). (Usei exatamente essas posições para as reações estáticas.) - Seção transversal retangular: base
e altura . (vou converter para metros quando necessário.)
O que vou determinar a seguir:
- reações verticais nos apoios (para obter esforços cortantes e momentos internos);
- diagrama de esforço cortante
e de momento fletor , para achar em valor absoluto e (o momento máximo que gera a maior tensão por flexão); - aplicar a fórmula de cisalhamento para seção retangular e a fórmula da flexão
com da retangular para obter as tensões desejadas.
Passo 2
Calcular as reações verticais dos apoios por equilíbrio estático (usei os comprimentos e a carga retirados da imagem).
- Comprimento total:
. - Carga total aplicada (resultante da UDL):
- Posicionamento da resultante (centro da UDL) a partir da esquerda:
- Supondo apoios verticais em
(esquerdo) e (direito). Chamando as reações (esquerda) e (direita), o equilíbrio vertical dá:
Momento em torno do apoio esquerdo (somando momentos positivos no sentido que torna
positivo):
Logo
Explicando a física por trás (aula rápida):
- A resultante da carga distribuída é uma força concentrada
aplicada no centro geométrico da carga. - Para equilibrar essa força, os apoios verticalmente fornecem reações que satisfaçam soma de forças nula e soma de momentos nula. Usei a equação de momento em torno de um apoio para eliminar a outra reação e resolver diretamente
.
Passo 3
Encontrar o esforço cortante
e identificar o valor máximo absoluto de
(vou calcular os valores relevantes e justificar por que o máximo absoluto surge num desses pontos).
Para 0 ≤ x ≤ 2{,}7 (trecho entre os apoios):
Pontos importantes:
- Em
: . - Onde
: (ponto de transição do corte). - Em
:
Logo, os valores do esforço cortante imediatamente à esquerda dos apoios (e extremos) são:
- maior positivo imediato:
(logo após o apoio esquerdo); - maior negativo imediato (em módulo):
(logo à esquerda do apoio direito).
Assim o valor absoluto máximo do esforço cortante ao longo da viga é
Comentário didático:
- O esforço cortante varia linearmente sob uma carga distribuída uniforme; seus extremos ocorrem tipicamente nos apoios (saltos por reações) ou em pontos de aplicação de forças concentradas. Aqui, o maior módulo aparece próximo ao apoio direito,
.
Passo 4
Calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta para seção retangular.
Fórmula (resultado clássico da mecânica dos materiais para retângulo): a tensão máxima de cisalhamento devido a um esforço cortante
numa seção retangular de base
e altura
é
onde
é a área da seção. Explicando por que: a distribuição de tensão cortante numa seção retangular é parabólica ao longo da altura e o valor máximo no eixo neutro é
vezes o valor médio
.
Aplicando números (converteu-se mm → m):
-
. -
. -
-
Calcule:
Primeiro
. Multiplicando por
:
Interpretação: a máxima tensão de cisalhamento absoluta na seção retangular (no eixo neutro) é
.
Passo 5
Determinar o momento fletor máximo
(em módulo) para poder calcular a tensão de flexão máxima com a fórmula da flexão.
Para 0 ≤ x ≤ 2{,}7 (entre apoios):
O extremo do momento (máximo positivo de flecha) ocorre onde
(derivada do momento é o cortante), isto é em
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
-
. -
. -
Logo
Verificação de outros pontos:
- Momento no apoio direito
: (momento negativo menor em módulo). - No extremo livre
: naturalmente.
Portanto o momento máximo em módulo ocorre no ponto onde cortante é zero e vale
.
Passo 6
Calcular a tensão de flexão máxima usando a fórmula da flexão linear:
Fórmula:
onde:
-
é o momento máximo (em N·m), -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (para retângulo ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro ( -axis horizontal), para retângulo:
Valores numéricos (conversão para SI):
-
(ou ; manterei ). -
-
Agora o cálculo:
Interpretação rápida:
- Esse valor é a tensão máxima normal na fibra extrema (superior ou inferior) devido à flexão. Em regiões de momento positivo (sagging) a fibra inferior estará em tração e a superior em compressão; o módulo máximo é
.
Passo 7
Resumo dos resultados e comentários práticos:
- Tensão de flexão máxima (módulo):
- Tensão de cisalhamento máxima absoluta:
Observações didáticas e dicas para prova:
- Sempre calcule primeiro as reações estáticas com soma de forças e momentos antes de desenhar diagramas de V e M.
- Para seção retangular use
(valor no eixo neutro) e para flexão. - Cuidado com unidades: converta mm para m se usar N e Pa; ou mantenha tudo em mm e N (ex.:
em mm^4) — o importante é consistência. - Se precisar da direção do sinal da tensão de flexão, identifique o sinal do momento em cada trecho: momento positivo (concavidade para cima) -> fibra inferior em tração.
Resposta
Tensão de flexão máxima:
Tensão de cisalhamento máxima absoluta:
Tensão de cisalhamento máxima absoluta: