1. Determine (a) the equations of the shear and bending-moment curves for the beam and loading shown, (b) the maximum absolute value of the bending moment in the beam.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar as equações da curva de esforço cortante V(x) e da curva de momento fletor M(x) ao longo da viga;
  • (b) determinar o valor máximo absoluto do momento fletor na viga.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada):
  • Viga em balanço (engastada em A, livre em B), comprimento total L.
  • Eixo x medido da esquerda (engaste A) para a direita (extremidade livre B), ou seja 0\le x\le L.
  • Carga distribuída para baixo dada por \displaystyle w(x)=w_{0}\!\left(1+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right).
  • Nas condições do problema: na extremidade livre x=L o cortante e o momento são nulos: \displaystyle V(L)=0,\\ M(L)=0.

Passo 2

Defino convenções e relações diferenciais básicas (explico por que elas valem).
  • Convenção: tomo V(x) como o esforço cortante interno avaliado no contorno esquerdo do corte, positivo para força resultante apontando para cima; tomo M(x) como o momento interno positivo que causa flecha côncava para cima (sagging). Essas escolhas são comuns e só exigem consistência nas equações.
  • Relações diferenciais fundamentais (derivadas da estática em um elemento infinitesimal):
    • A variação do cortante ao longo da viga é dada por (por equilíbrio vertical) \frac{dV}{dx}=-w(x).Intuição: se sobre um trecho houver uma carga para baixo w, o cortante decresce com a taxa w.
    • A variação do momento ao longo da viga é dada por (por equilíbrio de momentos) \frac{dM}{dx}=V(x).Intuição: o corte V é a derivada do momento.
Vou usar essas duas relações junto com as condições de contorno em x=L.

Passo 3

Calcular V(x) a partir de \dfrac{dV}{dx}=-w(x) e da condição V(L)=0.
Escrevo a carga:
w(x)=w_0\!\left(1+\frac{x^2}{L^2}\right).
Integrando a equação diferencial de x até L (onde V(L)=0):
V(L)-V(x)=-\int_x^{L} w(s)\,ds.
Como V(L)=0 isso dá
V(x)=\int_x^{L} w(s)\,ds = w_0\int_x^{L}\!\left(1+\frac{s^2}{L^2}\right)ds.
Faço a integral passo a passo:
\int_x^{L} 1\,ds = L-x, \qquad \int_x^{L}\frac{s^2}{L^2}\,ds=\frac{1}{L^2}\cdot\frac{L^3-x^3}{3}=\frac{L}{3}-\frac{x^3}{3L^2}.
Somando:
\int_x^{L}\!\left(1+\frac{s^2}{L^2}\right)ds = \left(L-x\right)+\left(\frac{L}{3}-\frac{x^3}{3L^2}\right) =\frac{4L}{3}-x-\frac{x^3}{3L^2}.
Portanto
V(x)=w_0\!\left(\frac{4L}{3}-x-\frac{x^3}{3L^2}\right).
Observação: V(L)=w_0(4L/3-L-L^3/(3L^2))=0 (confere a condição).

Passo 4

Calcular M(x) a partir de \dfrac{dM}{dx}=V(x) e da condição M(L)=0.
Integro de x até L:
M(L)-M(x)=\int_x^{L} V(s)\,ds.
Com M(L)=0 resulta
M(x)=-\int_x^{L} V(s)\,ds = -w_0\int_x^{L}\!\left(\frac{4L}{3}-s-\frac{s^3}{3L^2}\right)ds.
Faço a integral termo a termo.
  1. \displaystyle \int_x^{L}\frac{4L}{3}\,ds=\frac{4L}{3}(L-x).
  2. \displaystyle \int_x^{L} s\,ds=\frac{L^2-x^2}{2}.
  3. \displaystyle \int_x^{L}\frac{s^3}{3L^2}\,ds=\frac{1}{3L^2}\cdot\frac{L^4-x^4}{4}=\frac{L^4-x^4}{12L^2}.
Somando com os sinais (note o sinal menos à frente da integral):
\int_x^{L}\!\left(\frac{4L}{3}-s-\frac{s^3}{3L^2}\right)ds =\frac{4L}{3}(L-x)-\frac{L^2-x^2}{2}-\frac{L^4-x^4}{12L^2}.
Agora simplifico essa expressão em polinômio em x. Colocando sobre denominador comum (ou simplesmente combinando termos), obtém-se
\frac{4L}{3}(L-x)-\frac{L^2-x^2}{2}-\frac{L^4-x^4}{12L^2} =\frac{3}{4}L^2-\frac{4}{3}Lx+\frac{1}{2}x^2+\frac{x^4}{12L^2}.
(Verificação rápida: para x=L a soma dá zero, como esperado.)
Portanto
M(x)=-w_0\!\left(\frac{3}{4}L^2-\frac{4}{3}Lx+\frac{1}{2}x^2+\frac{x^4}{12L^2}\right).
Se quiser, alternadamente escrevo explicitamente
M(x)=w_0\!\left(-\frac{3}{4}L^2+\frac{4}{3}Lx-\frac{1}{2}x^2-\frac{x^4}{12L^2}\right).

Passo 5

Determinar o ponto de máximo absoluto de |M(x)| no intervalo 0\le x\le L.
  • Derivando M(x) recuperamos o cortante: \dfrac{dM}{dx}=V(x). Zeros de V(x) são candidatos a extremos de M.
  • Igualo V(x)=0: \frac{4L}{3}-x-\frac{x^3}{3L^2}=0.Para resolver, ponho t=\dfrac{x}{L} (adimensional): \frac{4}{3}-t-\frac{t^3}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad t^3+3t-4=0.Observa-se que t=1 é raiz (pois 1+3-4=0), e a fatoração dá t^3+3t-4=(t-1)(t^2+t+4).A equação quadrática restante tem discriminante negativo, logo não dá raízes reais. Assim o único zero real é t=1, isto é x=L (a extremidade livre).
  • Conclusão: no intervalo interno 0\le x<L não há interior com V(x)=0, o cortante V(x)>0 para 0\le x<L (pois em x=0 o valor é positivo) e V(L)=0. Então M(x) é monótono crescente em x ao longo de [0,L].
  • Assim o valor de maior magnitude de M ocorre numa das extremidades. Em x=L temos M(L)=0. Em x=0 temos M(0)=-w_0\!\left(\frac{3}{4}L^2\right)=-\frac{3}{4}w_0L^2.O valor absoluto é \left|M(0)\right|=\dfrac{3}{4}w_0L^2, que é, portanto, o máximo absoluto do momento na viga.
Breve interpretação física: o maior momento absoluto está no engaste (esperado para viga em balanço), e é \dfrac{3}{4}w_0L^2.

Resposta

V(x)=w_{0}\!\left(\dfrac{4L}{3}-x-\dfrac{x^{3}}{3L^{2}}\right) \
M(x)=-w_{0}\!\left(\dfrac{3}{4}L^{2}-\dfrac{4}{3}Lx+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{x^{4}}{12L^{2}}\right) \
Máximo absoluto do momento: \displaystyle \max_{0\le x\le L}|M(x)|=\frac{3}{4}w_{0}L^{2}

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