- Determine (a) the equations of the shear and bending-moment curves for the beam and loading shown, (b) the maximum absolute value of the bending moment in the beam.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar as equações da curva de esforço cortante
e da curva de momento fletor ao longo da viga; - (b) determinar o valor máximo absoluto do momento fletor na viga.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem enviada):
- Viga em balanço (engastada em
, livre em ), comprimento total . - Eixo
medido da esquerda (engaste ) para a direita (extremidade livre ), ou seja . - Carga distribuída para baixo dada por
. - Nas condições do problema: na extremidade livre
o cortante e o momento são nulos: .
Passo 2
Defino convenções e relações diferenciais básicas (explico por que elas valem).
- Convenção: tomo
como o esforço cortante interno avaliado no contorno esquerdo do corte, positivo para força resultante apontando para cima; tomo como o momento interno positivo que causa flecha côncava para cima (sagging). Essas escolhas são comuns e só exigem consistência nas equações. - Relações diferenciais fundamentais (derivadas da estática em um elemento infinitesimal):
- A variação do cortante ao longo da viga é dada por (por equilíbrio vertical)
Intuição: se sobre um trecho houver uma carga para baixo , o cortante decresce com a taxa . - A variação do momento ao longo da viga é dada por (por equilíbrio de momentos)
Intuição: o corte é a derivada do momento.
- A variação do cortante ao longo da viga é dada por (por equilíbrio vertical)
Vou usar essas duas relações junto com as condições de contorno em
.
Passo 3
Calcular
a partir de
e da condição
.
Escrevo a carga:
Integrando a equação diferencial de
até
(onde
):
Como
isso dá
Faço a integral passo a passo:
Somando:
Portanto
Observação:
(confere a condição).
Passo 4
Calcular
a partir de
e da condição
.
Integro de
até
:
Com
resulta
Faço a integral termo a termo.
Somando com os sinais (note o sinal menos à frente da integral):
Agora simplifico essa expressão em polinômio em
. Colocando sobre denominador comum (ou simplesmente combinando termos), obtém-se
(Verificação rápida: para
a soma dá zero, como esperado.)
Portanto
Se quiser, alternadamente escrevo explicitamente
Passo 5
Determinar o ponto de máximo absoluto de
no intervalo
.
- Derivando
recuperamos o cortante: . Zeros de são candidatos a extremos de . - Igualo
: Para resolver, ponho (adimensional): Observa-se que é raiz (pois ), e a fatoração dá A equação quadrática restante tem discriminante negativo, logo não dá raízes reais. Assim o único zero real é , isto é (a extremidade livre). - Conclusão: no intervalo interno
não há interior com , o cortante para (pois em o valor é positivo) e . Então é monótono crescente em ao longo de . - Assim o valor de maior magnitude de
ocorre numa das extremidades. Em temos . Em temos O valor absoluto é , que é, portanto, o máximo absoluto do momento na viga.
Breve interpretação física: o maior momento absoluto está no engaste (esperado para viga em balanço), e é
.
Resposta
Máximo absoluto do momento: