2 - Sobre a lança de 10 m atua a força de 4 kN . Determine a tração nos cabos e a reação na rótula A .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tração nos cabos e a reação na rótula A para a lança de 10\\ \text{m} submetida a uma força de 4\\ \text{kN} apontando para baixo em C.
Informações que consegui identificar na figura (peguei estes valores da imagem):
Comprimento total da lança A até C: 10\\ \text{m}, dividido em A até B=\!6\\ \text{m} e B até C=\!4\\ \text{m}.
Força concentrada na extremidade C: \vec{F} = 4\\ \text{kN} direcionada verticalmente para baixo (peguei essa informação da seta verde em C).
Existem dois cabos que sustentam a lança e uma rótula (pino) em A (isso está indicado na figura: dois fios inclinados ligados a um mastro/âncora e a rótula em A).
Incertezas / dados que faltam (estas ausências impedem obter um resultado numérico único):
As coordenadas exatas dos pontos de ancoragem dos cabos (por exemplo coordenadas de E e de D ou pontos do mastro) não estão claramente identificadas numericamente na figura que recebi — há medidas “6 m”, “7 m” etc. na figura, mas não está óbvio a que pontos esses segmentos correspondem no sistema de coordenadas.
Não está perfeitamente claro em quais pontos da lança os cabos estão ligados (um deles parece ligado em B, o outro em algum ponto à esquerda, mas a posição precisa em coordenadas x,y,z não está especificada de forma inequívoca).
Por causa dessas ambiguidades eu não tenho todas as coordenadas espaciais necessárias para calcular numericamente as direções unitárias dos cabos nem montar o sistema linear com valores numéricos. Sem essas coordenadas não é possível determinar os valores numéricos das trações nem da reação na rótula A.
Passo 2
O que faria assim que todas as coordenadas fossem conhecidas (estratégia passo a passo — vou explicar cada fórmula e o porquê, assim você aprende a aplicar na hora da prova):
Escolher sistema de referencia e representar pontos por vetores posição.
Colocar A como origem: \vec{r}_A = (0,0,0).
Pelo que a figura mostra, a lança está ao longo do eixo x: \vec{r}_B = (6,0,0) e \vec{r}_C = (10,0,0). (Estas duas posições peguei da figura.)
Os ancoragens no mastro, por exemplo E e D, devem ter coordenadas \vec{r}_E = (x_E,y_E,z_E) e \vec{r}_D = (x_D,y_D,z_D). Estes valores precisam ser fornecidos claramente para avançar.
Direção e vetor unitário de cada cabo.
Se um cabo liga o ponto P da lança (por exemplo B) ao ancoragem E, o vetor do cabo é\vec{r}_{PE}=\vec{r}_E-\vec{r}_P.Explicando devagar: \vec{r}_E é o vetor posição do ponto de ancoragem, \vec{r}_P é o vetor posição do ponto de aplicação no braço; a diferença dá a direção do cabo do ponto da lança até o mastro.
O vetor unitário do cabo (direção apenas, comprimento 1) é\hat{u}=\frac{\vec{r}_{PE}}{\|\vec{r}_{PE}\|},onde \|\vec{r}_{PE}\|=\sqrt{(x_E-x_P)^2+(y_E-y_P)^2+(z_E-z_P)^2}. Isto é importante porque a tração no cabo age ao longo desta direção.
Representar as forças desconhecidas.
Seja T_1 a tração no cabo 1 (ligado em P_1 e ancorado em E_1), e T_2 a tração no cabo 2 (ligado em P_2 e ancorado em E_2). Então as forças devido aos cabos são\vec{T}_1=T_1\hat{u}_1,\qquad \vec{T}_2=T_2\hat{u}_2.
A força externa conhecida é \vec{F} (no problema, \vec{F} é 4\\ \text{kN} para baixo em C; em vetorial, por exemplo, se o eixo vertical for z para cima, então \vec{F}=(0,0,-4000)\\ \text{N}).
Equilíbrio de forças (equação vetorial com 3 componentes).
A rótula em A fornece uma reação desconhecida \vec{R}_A=(R_{Ax},R_{Ay},R_{Az}).
A equação de equilíbrio de forças é\vec{R}_A+\vec{T}_1+\vec{T}_2+\vec{F}=\vec{0}.Em componentes isso gera três equações escalares (para x,y,z). Esta é a aplicação direta da primeira condição de equilíbrio: soma das forças = zero.
Equilíbrio de momentos (momento em relação à A, enquanto A é rótula — momento da reação em A é nulo).
O momento de uma força \vec{F} aplicada no ponto de posição \vec{r}_P em relação a A é \vec{M}_A=\vec{r}_P\times\vec{F} (produto vetorial).
A condição de equilíbrio de momentos em relação a A é\vec{r}_{P_1}\times\vec{T}_1+\vec{r}_{P_2}\times\vec{T}_2+\vec{r}_C\times\vec{F}=\vec{0}.(Aqui \vec{r}_{P_1} e \vec{r}_{P_2} são vetores posição dos pontos de aplicação dos cabos medidos a partir de A.)
Isso dá mais três equações escalares (componentes x,y,z do vetor momento).
Sistema linear e solução.
No total há 6 incógnitas: T_1,T_2,R_{Ax},R_{Ay},R_{Az} (se existirem exatamente dois cabos e a rótula no ponto A). Temos 6 equações (3 de forças + 3 de momentos), portanto o sistema é, em princípio, determinável.
Procedimento prático para resolver na prova:
a) Calcular os vetores unitários \hat{u}_1,\hat{u}_2 numericamente a partir das coordenadas (isto dá as componentes das forças dos cabos em x,y,z multiplicadas por T_1 e T_2).
b) Escrever as três equações de equilíbrio de momentos em relação a A:(\vec{r}_{P_1}\times\hat{u}_1)T_1+(\vec{r}_{P_2}\times\hat{u}_2)T_2 = -(\vec{r}_C\times\vec{F}).Note que aqui as componentes das reações em A desaparecem porque o momento delas em relação a A é nulo — é por isso que é usual resolver primeiro as três equações de momento para obter T_1 e T_2. (Na prática, apenas duas das três equações de momento podem ser linearmente independentes para determinar T_1 e T_2; usar as componentes apropriadas ou montar as três e resolver em mínimos quadrados se necessário — mas em uma montagem espacial típica as três são suficientes e consistentes.)
c) Resolver o sistema 3\times2 (ou escolher duas componentes independentes) para T_1 e T_2. Isto é um sistema linear:\begin{pmatrix} (\vec{r}_{P_1}\times\hat{u}_1)_x & (\vec{r}_{P_2}\times\hat{u}_2)_x \\\ (\vec{r}_{P_1}\times\hat{u}_1)_y & (\vec{r}_{P_2}\times\hat{u}_2)_y \\\ (\vec{r}_{P_1}\times\hat{u}_1)_z & (\vec{r}_{P_2}\times\hat{u}_2)_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T_1 \\\ T_2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} (\vec{r}_C\times\vec{F})_x \\\ (\vec{r}_C\times\vec{F})_y \\\ (\vec{r}_C\times\vec{F})_z \end{pmatrix}.Explicando: cada entrada (\vec{r}_{P_i}\times\hat{u}_i)_x é a componente x do vetor \vec{r}_{P_i}\times\hat{u}_i, obtida por cálculo direto do produto vetorial.
d) Uma vez encontradas T_1 e T_2, usar as equações de equilíbrio de forças para obter a reação em A por simples rearranjo:\vec{R}_A = -\big(\vec{T}_1+\vec{T}_2+\vec{F}\big).Aqui você substitui \vec{T}_i=T_i\hat{u}_i com os T_i já encontrados e calcula as componentes R_{Ax},R_{Ay},R_{Az}.
Passo 3
Algumas observações e dicas práticas para prova (conto como amigo que já encarou isso nas provas):
Sempre desenhe o diagrama de forças no espaço e anote coordenadas (x,y,z) dos pontos A,B,C,E,D. Sem coordenadas numéricas você não consegue calcular as direções dos cabos. Esse é o passo que costuma escapar sob pressão.
Para o produto vetorial (momento), memorize a regra prática (determinante) e calcule componente a componente:\vec{r}\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ r_x & r_y & r_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.Se \vec{r}=(r_x,r_y,r_z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z), então as componentes do momento são:(\vec{r}\times\vec{F})_x = r_yF_z-r_zF_y,
(\vec{r}\times\vec{F})_y = r_zF_x-r_xF_z,
(\vec{r}\times\vec{F})_z = r_xF_y-r_yF_x.
Fazer isso passo a passo evita sinais errados e confusão.
Se a figura estiver em 3D, verifique direção “para cima” e sentido das coordenadas (quem é positiva) — isso muda sinais em \vec{F} e em vetores posição.
Em muitos exercícios escolares com dois cabos e pino em A, a maneira robusta é: usar as 3 equações de momento para encontrar T_1,T_2 (reação em A não aparece), depois usar as 3 equações de força para encontrar R_{Ax},R_{Ay},R_{Az}.
Passo 4
Conclusão prática para este problema específico: eu não posso fornecer os valores numéricos de T_1, T_2 e \vec{R}_A porque a figura que você enviou não fornece de maneira inequívoca as coordenadas das ancoragens dos cabos (por exemplo as coordenadas de E e D e o ponto exato de ligação de cada cabo à lança). Com essas coordenadas fica direto aplicar o procedimento do Passo 2 e obter os números (eu até te mostro como montar o sistema e resolver passo a passo se você confirmar as coordenadas exatas).
Se você quiser, eu posso:
Resolver numericamente agora mesmo se você confirmar (sem perguntas complicadas) as coordenadas dos pontos de ancoragem (por exemplo E=(x_E,y_E,z_E) e D=(x_D,y_D,z_D)), ou
Assumir interpretações razoáveis da figura e resolver com esses valores assumidos — mas aí eu vou avisar que os resultados são baseados em suposições e podem não ser os pedidos pelo professor.
Resposta
Não é possível determinar numericamente as trações nos cabos nem a reação na rótula A com os dados/figura fornecidos: faltam coordenadas precisas dos pontos de ancoragem dos cabos (por exemplo E e D) e a posição exata dos pontos de ligação dos cabos na lança.