(a) Determine as tensões de nó v_{1}, v_{2} e v_{3} no circuito. (b) Determine a potência total dissipada no circuito.
Passo 1
O que o problema pede:
(a) Determinar as tensões de nó v_{1}, v_{2} e v_{3}.
(b) Determinar a potência total dissipada no circuito (soma das potências dissipada em todos os resistores).
Informações dadas no enunciado / figura (listei tudo que aparece no circuito):
Nó de referência (terra) é o nó inferior comum.
No ramo vertical esquerdo há uma fonte de corrente dependente igual a 5\,i_{o} com seta para cima, conectada entre o terra e o nó superior esquerdo (esse nó superior esquerdo tem tensão v_{1}).
Entre v_{1} e o terra há um resistor de 20\\ \Omega.
Entre v_{1} e v_{2} há um resistor de 5\\ \Omega.
Entre v_{2} e o terra há um resistor de 40\\ \Omega; a corrente que percorre esse resistor para baixo é indicada como i_{o} (ou seja, i_{o} é a corrente através do 40\\ \Omega para o terra).
Entre v_{2} e v_{3} há um resistor de 10\\ \Omega.
No ramo direito, entre v_{3} e uma barra à direita está um resistor de 4\\ \Omega; a barra à direita é o terminal positivo de uma fonte de tensão de 96\\ \text{V} cuja negativa está no terra, portanto o nó à direita do 4\\ \Omega vale 96\\ \text{V}.
Entre v_{3} e o terminal superior de uma fonte de tensão dependente existe um resistor vertical de 5\\ \Omega. A fonte de tensão dependente (diamante) tem sua extremidade inferior no terra e sua tensão (positivo no topo) igual a 11{,}5\,i_{o}. Ou seja, o nó entre o resistor 5\\ \Omega vertical e a fonte dependente chamarei de nó a e V_a = 11{,}5\,i_{o}.
Resumo dos valores: resistores 20\\ \Omega, 5\\ \Omega, 40\\ \Omega, 10\\ \Omega, 5\\ \Omega, 4\\ \Omega; fontes: corrente dependente 5\,i_o (seta para cima) e fonte de tensão independente 96\\ \text{V}; fonte de tensão dependente 11{,}5\,i_o (topo com polaridade +).
Observação importante da figura que vou usar: a corrente i_{o} é a corrente descendente pelo resistor 40\\ \Omega. Portanto i_{o} relaciona-se diretamente com v_{2}.
Passo 2
Escolha do procedimento e lembrete das fórmulas úteis (aqui ensino o método que vamos aplicar, passo a passo):
Vou usar o método das tensões de nó (método nodal). A ideia: em cada nó desconhecido escrevemos a Lei dos Nós (KCL): a soma das correntes que saem do nó é zero. Para calcular uma corrente através de um resistor usamos a Lei de Ohm: a corrente do nó A para o nó B é (V_A-V_B)/R.
Convenções que vou usar: somo correntes saindo do nó; fontes de corrente aparecem como termos conhecidos na equação (se injetam corrente no nó, entram com sinal negativo quando somamos correntes que saem); fontes dependentes tratam-se conforme sua expressão (se dependem de i_o uso a relação que define i_o).
Fórmulas usadas explicitamente:
Lei de Ohm para corrente entre dois nós: \displaystyle I=\frac{V_{\text{nó}}-V_{\text{outro}}}{R}.
KCL num nó: soma das correntes que saem = 0.
Passo 3
Expressar i_{o} em função de uma tensão de nó (isso foi dado pela figura):
Como i_{o} é a corrente que desce pelo resistor 40\\ \Omega do nó v_{2} para o terra,
i_{o}=\frac{v_{2}-0}{40}=\frac{v_{2}}{40}.
Passo 4
Escrever a equação KCL no nó v_{1}. Termos:
Corrente do nó v_{1} para o terra pelo 20\\ \Omega: \dfrac{v_{1}-0}{20}=\dfrac{v_{1}}{20}.
Corrente do nó v_{1} para v_{2} pelo 5\\ \Omega: \dfrac{v_{1}-v_{2}}{5}.
A fonte de corrente 5\,i_{o} tem seta para cima (do terra para v_{1}), isto é, ela injeta corrente 5\,i_{o} no nó v_{1}. Na soma de correntes que saem do nó isso aparece com sinal negativo.
Aplicando KCL (soma das correntes que saem = 0):
Corrente do v_{3} para o nó de 96\\ \text{V} pelo 4\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-96}{4} (note que o nó à direita do 4\\ \Omega tem tensão 96\\ \text{V}).
Corrente do v_{3} para v_{2} pelo 10\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-v_{2}}{10}.
Corrente do v_{3} para o nó a (topo da fonte dependente) pelo resistor vertical 5\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-V_a}{5}. Mas V_a é dado pela fonte dependente: V_a=11{,}5\,i_{o}.
Aplicando KCL:
80\cdot\frac{v_{3}-11{,}5\cdot\frac{v_{2}}{40}}{5}=16\biggl(v_{3}-\frac{11{,}5}{40}v_{2}\biggr)=16v_{3}-16\cdot\frac{11{,}5}{40}v_{2}.
Calcule \dfrac{11{,}5}{40}=\dfrac{23/2}{40}=\dfrac{23}{80}. Logo o terceiro termo vira 16v_{3}-16\cdot\frac{23}{80}v_{2}=16v_{3}-\frac{368}{80}v_{2}=16v_{3}-\frac{23}{5}v_{2}.
Somando tudo e igualando a zero:
Agora calculamos a potência dissipada em cada resistor. Regra prática: potência dissipada num resistor pode ser calculada por P=\dfrac{V^2}{R}, onde V é a diferença de potencial sobre o resistor. Vou calcular para cada resistor usando as tensões de nó já encontradas.