(a) Determine as tensões de nó v_{1}, v_{2} e v_{3} no circuito. (b) Determine a potência total dissipada no circuito.

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Determinar as tensões de nó v_{1}, v_{2} e v_{3}.
  • (b) Determinar a potência total dissipada no circuito (soma das potências dissipada em todos os resistores).
Informações dadas no enunciado / figura (listei tudo que aparece no circuito):
  • Nó de referência (terra) é o nó inferior comum.
  • No ramo vertical esquerdo há uma fonte de corrente dependente igual a 5\,i_{o} com seta para cima, conectada entre o terra e o nó superior esquerdo (esse nó superior esquerdo tem tensão v_{1}).
  • Entre v_{1} e o terra há um resistor de 20\\ \Omega.
  • Entre v_{1} e v_{2} há um resistor de 5\\ \Omega.
  • Entre v_{2} e o terra há um resistor de 40\\ \Omega; a corrente que percorre esse resistor para baixo é indicada como i_{o} (ou seja, i_{o} é a corrente através do 40\\ \Omega para o terra).
  • Entre v_{2} e v_{3} há um resistor de 10\\ \Omega.
  • No ramo direito, entre v_{3} e uma barra à direita está um resistor de 4\\ \Omega; a barra à direita é o terminal positivo de uma fonte de tensão de 96\\ \text{V} cuja negativa está no terra, portanto o nó à direita do 4\\ \Omega vale 96\\ \text{V}.
  • Entre v_{3} e o terminal superior de uma fonte de tensão dependente existe um resistor vertical de 5\\ \Omega. A fonte de tensão dependente (diamante) tem sua extremidade inferior no terra e sua tensão (positivo no topo) igual a 11{,}5\,i_{o}. Ou seja, o nó entre o resistor 5\\ \Omega vertical e a fonte dependente chamarei de nó a e V_a = 11{,}5\,i_{o}.
  • Resumo dos valores: resistores 20\\ \Omega, 5\\ \Omega, 40\\ \Omega, 10\\ \Omega, 5\\ \Omega, 4\\ \Omega; fontes: corrente dependente 5\,i_o (seta para cima) e fonte de tensão independente 96\\ \text{V}; fonte de tensão dependente 11{,}5\,i_o (topo com polaridade +).
  • Observação importante da figura que vou usar: a corrente i_{o} é a corrente descendente pelo resistor 40\\ \Omega. Portanto i_{o} relaciona-se diretamente com v_{2}.

Passo 2

Escolha do procedimento e lembrete das fórmulas úteis (aqui ensino o método que vamos aplicar, passo a passo):
  • Vou usar o método das tensões de nó (método nodal). A ideia: em cada nó desconhecido escrevemos a Lei dos Nós (KCL): a soma das correntes que saem do nó é zero. Para calcular uma corrente através de um resistor usamos a Lei de Ohm: a corrente do nó A para o nó B é (V_A-V_B)/R.
  • Convenções que vou usar: somo correntes saindo do nó; fontes de corrente aparecem como termos conhecidos na equação (se injetam corrente no nó, entram com sinal negativo quando somamos correntes que saem); fontes dependentes tratam-se conforme sua expressão (se dependem de i_o uso a relação que define i_o).
  • Fórmulas usadas explicitamente:
    • Lei de Ohm para corrente entre dois nós: \displaystyle I=\frac{V_{\text{nó}}-V_{\text{outro}}}{R}ó.
    • KCL num nó: soma das correntes que saem = 0.

Passo 3

Expressar i_{o} em função de uma tensão de nó (isso foi dado pela figura):
  • Como i_{o} é a corrente que desce pelo resistor 40\\ \Omega do nó v_{2} para o terra,
i_{o}=\frac{v_{2}-0}{40}=\frac{v_{2}}{40}.

Passo 4

Escrever a equação KCL no nó v_{1}. Termos:
  • Corrente do nó v_{1} para o terra pelo 20\\ \Omega: \dfrac{v_{1}-0}{20}=\dfrac{v_{1}}{20}.
  • Corrente do nó v_{1} para v_{2} pelo 5\\ \Omega: \dfrac{v_{1}-v_{2}}{5}.
  • A fonte de corrente 5\,i_{o} tem seta para cima (do terra para v_{1}), isto é, ela injeta corrente 5\,i_{o} no nó v_{1}. Na soma de correntes que saem do nó isso aparece com sinal negativo.
    Aplicando KCL (soma das correntes que saem = 0):
\frac{v_{1}}{20}+\frac{v_{1}-v_{2}}{5}-5\,i_{o}=0.
Substituindo i_{o}=\dfrac{v_{2}}{40} e simplificando:
\frac{v_{1}}{20}+\frac{v_{1}-v_{2}}{5}-5\cdot\frac{v_{2}}{40}=0.
Multiplicando por 40 para eliminar denominadores:
2v_{1}+8(v_{1}-v_{2})-5v_{2}=0.
Agrupando termos:
10v_{1}-13v_{2}=0.
Portanto obtemos a primeira equação:
\boxed{10v_{1}-13v_{2}=0.}

Passo 5

Escrever a equação KCL no nó v_{2}. Termos:
  • Corrente do v_{2} para terra pelo 40\\ \Omega: \dfrac{v_{2}}{40} (que é exatamente i_{o}).
  • Corrente do v_{2} para v_{1} pelo 5\\ \Omega: \dfrac{v_{2}-v_{1}}{5}.
  • Corrente do v_{2} para v_{3} pelo 10\\ \Omega: \dfrac{v_{2}-v_{3}}{10}.
    Aplicando KCL (soma das correntes que saem = 0):
\frac{v_{2}}{40}+\frac{v_{2}-v_{1}}{5}+\frac{v_{2}-v_{3}}{10}=0.
Multiplicando por 40:
v_{2}+8(v_{2}-v_{1})+4(v_{2}-v_{3})=0.
Agrupando:
-8v_{1}+13v_{2}-4v_{3}=0.
Portanto a segunda equação é
\boxed{-8v_{1}+13v_{2}-4v_{3}=0.}

Passo 6

Escrever a equação KCL no nó v_{3}. Termos:
  • Corrente do v_{3} para o nó de 96\\ \text{V} pelo 4\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-96}{4} (note que o nó à direita do 4\\ \Omega tem tensão 96\\ \text{V}).
  • Corrente do v_{3} para v_{2} pelo 10\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-v_{2}}{10}.
  • Corrente do v_{3} para o nó a (topo da fonte dependente) pelo resistor vertical 5\\ \Omega: \dfrac{v_{3}-V_a}{5}. Mas V_a é dado pela fonte dependente: V_a=11{,}5\,i_{o}.
    Aplicando KCL:
\frac{v_{3}-96}{4}+\frac{v_{3}-v_{2}}{10}+\frac{v_{3}-11{,}5\,i_{o}}{5}=0.
Substituindo i_{o}=\dfrac{v_{2}}{40}:
\frac{v_{3}-96}{4}+\frac{v_{3}-v_{2}}{10}+\frac{v_{3}-11{,}5\cdot\frac{v_{2}}{40}}{5}=0.
Para evitar arredondamentos, multiplico por 80 (mínimo comum conveniente) e simplifico cuidadosamente:
  • 80\cdot\frac{v_{3}-96}{4}=20(v_{3}-96)=20v_{3}-1920.
  • 80\cdot\frac{v_{3}-v_{2}}{10}=8(v_{3}-v_{2})=8v_{3}-8v_{2}.
  • 80\cdot\frac{v_{3}-11{,}5\cdot\frac{v_{2}}{40}}{5}=16\biggl(v_{3}-\frac{11{,}5}{40}v_{2}\biggr)=16v_{3}-16\cdot\frac{11{,}5}{40}v_{2}.
    Calcule \dfrac{11{,}5}{40}=\dfrac{23/2}{40}=\dfrac{23}{80}. Logo o terceiro termo vira 16v_{3}-16\cdot\frac{23}{80}v_{2}=16v_{3}-\frac{368}{80}v_{2}=16v_{3}-\frac{23}{5}v_{2}.
    Somando tudo e igualando a zero:
(20v_{3}-1920)+(8v_{3}-8v_{2})+\Bigl(16v_{3}-\frac{23}{5}v_{2}\Bigr)=0.
Agrupando os coeficientes em v_{3} e v_{2}:
44v_{3}-\Bigl(8+\frac{23}{5}\Bigr)v_{2}-1920=0.
Calcule 8+\frac{23}{5}=\frac{40+23}{5}=\frac{63}{5}. Multiplicando por 5 para ficar sem frações:
220v_{3}-63v_{2}-9600=0.
Ou reorganizando:
\boxed{63v_{2}-220v_{3}=-9600.}

Passo 7

Resolver o sistema linear. As equações obtidas são:
\begin{cases} 10v_{1}-13v_{2}=0,\\[4pt] -8v_{1}+13v_{2}-4v_{3}=0,\\[4pt] 63v_{2}-220v_{3}=-9600. \end{cases}
Da primeira equação isolamos v_{1}:
v_{1}=\frac{13}{10}v_{2}=1{,}3\,v_{2}.
Substituímos v_{1} na segunda equação:
-8\Bigl(\frac{13}{10}v_{2}\Bigr)+13v_{2}-4v_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{104}{10}v_{2}+13v_{2}-4v_{3}=0.
Calcule -\dfrac{104}{10}v_{2}+13v_{2}=\left(-10{,}4+13\right)v_{2}=2{,}6\,v_{2}. Assim:
2{,}6\,v_{2}-4v_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad v_{3}=\frac{2{,}6}{4}v_{2}=\frac{13}{20}v_{2}=0{,}65\,v_{2}.
Agora substituímos v_{3}=\dfrac{13}{20}v_{2} na terceira equação:
63v_{2}-220\Bigl(\frac{13}{20}v_{2}\Bigr)=-9600.
Calcule 220\cdot\frac{13}{20}=11\cdot13=143. Então:
63v_{2}-143v_{2}=-80v_{2}=-9600.
Logo
v_{2}=\frac{9600}{80}=120\\ \text{V}.]

Passo 8

Encontrar v_{1} e v_{3} a partir de v_{2}:
v_{1}=\frac{13}{10}v_{2}=\frac{13}{10}\cdot120=156\\ \text{V},
v_{3}=\frac{13}{20}v_{2}=\frac{13}{20}\cdot120=78\\ \text{V}.
Também calculei i_{o} e a tensão do nó a (topo da fonte dependente), pois vão aparecer no cálculo das potências:
i_{o}=\frac{v_{2}}{40}=\frac{120}{40}=3\\ \text{A},
V_{a}=11{,}5\,i_{o}=11{,}5\cdot 3=34{,}5\\ \text{V}.

Passo 9

Agora calculamos a potência dissipada em cada resistor. Regra prática: potência dissipada num resistor pode ser calculada por P=\dfrac{V^2}{R}, onde V é a diferença de potencial sobre o resistor. Vou calcular para cada resistor usando as tensões de nó já encontradas.
  1. Resistor 20\\ \Omega entre v_{1} e terra:
P_{20}=\frac{v_{1}^{2}}{20}=\frac{156^{2}}{20}=\frac{24336}{20}=1216{,}8\\ \text{W}.
  1. Resistor 40\\ \Omega (entre v_{2} e terra):
P_{40}=\frac{v_{2}^{2}}{40}=\frac{120^{2}}{40}=\frac{14400}{40}=360\\ \text{W}.
  1. Resistor 5\\ \Omega entre v_{1} e v_{2}:
  • Diferença de potencial: v_{1}-v_{2}=156-120=36\\ \text{V}.
P_{5(1,2)}=\frac{(v_{1}-v_{2})^{2}}{5}=\frac{36^{2}}{5}=\frac{1296}{5}=259{,}2\\ \text{W}.
  1. Resistor 10\\ \Omega entre v_{2} e v_{3}:
  • Diferença: v_{2}-v_{3}=120-78=42\\ \text{V}.
P_{10}=\frac{42^{2}}{10}=\frac{1764}{10}=176{,}4\\ \text{W}.
  1. Resistor 5\\ \Omega vertical entre v_{3} e V_{a}:
  • Diferença: v_{3}-V_{a}=78-34{,}5=43{,}5\\ \text{V}.
P_{5(\text{vertical})}=\frac{(43{,}5)^{2}}{5}=\frac{1892{,}25}{5}=378{,}45\\ \text{W}.
  1. Resistor 4\\ \Omega entre v_{3} e 96\\ \text{V}:
  • Diferença: v_{3}-96=78-96=-18\\ \text{V} (o quadrado elimina o sinal).
P_{4}=\frac{(-18)^{2}}{4}=\frac{324}{4}=81\\ \text{W}.

Passo 10

Somar todas as potências dissipada em resistores para obter a potência total dissipada no circuito (soma das perdas resistivas):
P_{\text{total}}=P_{20}+P_{40}+P_{5(1,2)}+P_{10}+P_{5(\text{vertical})}+P_{4}.
Substituindo os valores numéricos:
P_{\text{total}}=1216{,}8+360+259{,}2+176{,}4+378{,}45+81=2471{,}85\\ \text{W}.

Resposta

v_{1}=156\\ \text{V}
v_{2}=120\\ \text{V}
v_{3}=78\\ \text{V}
P_{\text{total}}=2471{,}85\\ \text{W}

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