Use a análise nodal para achar v_{p} no circuito.

Passo 1

O enunciado pede para achar v_{p} no circuito. Eu peguei os valores e conexões diretamente da imagem enviada: fontes de corrente de 10\\ \text{A}, 2{,}5\\ \text{A}, 2\\ \text{A} (entre dois nós, com seta para a esquerda) e 5\\ \text{A}; resistores de 40\\ \Omega, 50\\ \Omega, 10\\ \Omega, 20\\ \Omega, 100\\ \Omega e 200\\ \Omega; e o ponto onde v_{p} está marcado (no topo do resistor de 100\\ \Omega, com o terminal inferior deste resistor ligado ao nó de referência).\n
Informações relevantes (extraídas da imagem):
  • Há um nó superior à esquerda alimentado pela fonte de 10\\ \text{A} e ligado ao resistor 20\\ \Omega (para o terra) e ao nó central através de 40\\ \Omega.
  • O nó central (o ponto superior do resistor 100\\ \Omega) é exatamente o nó cujo potencial é v_{p} em relação ao terra.
  • O nó à direita do 50\\ \Omega tem uma fonte de 2{,}5\\ \text{A} para o terra (sentido para baixo) e conecta-se a um nó mais à direita por um resistor 10\\ \Omega em paralelo com uma fonte de corrente de 2\\ \text{A} (seta para a esquerda).
  • O nó mais à direita tem uma fonte de 5\\ \text{A} para cima para o terra e o resistor 200\\ \Omega até o terra.\n
    Pergunta: calcular o valor numérico de v_{p} (potencial do nó central em volts, em relação ao terra).

Passo 2

Definições e convenções que vou usar:
  • Escolho o nó inferior como referência (terra), isto é V_{\text{terra}}=0.
  • Rotulo os nós superiores: nó esquerdo V_A, nó central (onde está v_{p}) V_B, nó imediatamente à direita do 50\\ \Omega V_C e nó mais à direita V_D.
  • Identifico v_{p} = V_B.\n
    Mini-aula rápida (bem prática) sobre as ferramentas que vou usar:
  • Lei dos nós (KCL): em qualquer nó, a soma das correntes que saem do nó é igual à soma das correntes que entram, ou, equivalentemente, a soma algébrica de correntes saindo é zero.
  • Lei de Ohm para uma resistência R entre dois nós com tensões V_X e V_Y: a corrente de X para Y vale (V_X - V_Y)/R. Aqui sempre escrevo correntes em função das diferenças de tensões e da resistência.
  • Para fontes de corrente: uso seu valor e direção diretamente nas equações de KCL (uma fonte que entra no nó contribui com corrente de entrada; que sai do nó contribui como corrente de saída).\n
    Vou aplicar KCL em cada nó não referenciado para montar equações lineares para V_A,\\ V_B,\\ V_C,\\ V_D.

Passo 3

KCL no nó A (nó esquerdo):
  • Corrente pelo 20\\ \Omega para o terra: \dfrac{V_A-0}{20} = \dfrac{V_A}{20} (saindo de A).
  • Corrente pelo 40\\ \Omega para o nó B: \dfrac{V_A - V_B}{40} (saindo de A em direção a B se V_A>V_B).
  • A fonte de 10\\ \text{A} empurra 10\\ \text{A} para cima, ou seja, entra 10\\ \text{A} no nó A.\n
    Escrevendo KCL (correntes saindo = correntes entrando):
\dfrac{V_A}{20} + \dfrac{V_A - V_B}{40} = 10.
Multiplico por 40 para eliminar denominadores:
2V_A + (V_A - V_B) = 400 \quad\Rightarrow\quad 3V_A - V_B = 400.

Passo 4

KCL no nó B (o v_{p}):
  • Corrente para A pelo 40\\ \Omega: \dfrac{V_B - V_A}{40}.
  • Corrente para C pelo 50\\ \Omega: \dfrac{V_B - V_C}{50}.
  • Corrente para o terra pelo 100\\ \Omega: \dfrac{V_B}{100}.
    Não há fontes de corrente conectadas diretamente a B, então a soma das correntes (saindo) é zero:
\dfrac{V_B - V_A}{40} + \dfrac{V_B - V_C}{50} + \dfrac{V_B}{100} = 0.
Multiplico por 200 (múltiplo comum de 40,50,100):
5(V_B - V_A) + 4(V_B - V_C) + 2V_B = 0.
Distribuindo e somando termos:
-5V_A + 11V_B - 4V_C = 0.

Passo 5

KCL no nó C:
  • Corrente para B pelo 50\\ \Omega: \dfrac{V_C - V_B}{50}.
  • Corrente para D pelo 10\\ \Omega: \dfrac{V_C - V_D}{10}.
  • Há uma fonte de 2{,}5\\ \text{A} que aponta para baixo (do nó C para o terra): isto é uma corrente de 2{,}5\\ \text{A} saindo do nó C para o terra.
  • Há uma fonte de 2\\ \text{A} entre D e C com seta para a esquerda (ou seja, corrente de D para C de 2\\ \text{A}), portanto para o nó C isso é uma corrente entrando no nó C de 2\\ \text{A}.\n
    Escrevendo KCL (correntes saindo = correntes entrando), incluindo a corrente conhecida que entra ( 2\\ \text{A}):
\dfrac{V_C - V_B}{50} + \dfrac{V_C - V_D}{10} + 2{,}5 - 2 = 0.
Simplifico 2{,}5 - 2 = 0{,}5, então:
\dfrac{V_C - V_B}{50} + \dfrac{V_C - V_D}{10} + 0{,}5 = 0.
Multiplico por 100 para eliminar denominadores:
2(V_C - V_B) + 10(V_C - V_D) + 50 = 0.
Distribuindo:
-2V_B + 12V_C - 10V_D = -50.

Passo 6

KCL no nó D:
  • Corrente para C pelo 10\\ \Omega: \dfrac{V_D - V_C}{10}.
  • Corrente para o terra pelo 200\\ \Omega: \dfrac{V_D}{200}.
  • A fonte de 2\\ \text{A} entre D e C (seta para a esquerda) corresponde a 2\\ \text{A} saindo de D (pois vai de D para C).
  • A fonte de 5\\ \text{A} aponta para cima desde o terra até D, ou seja, entra 5\\ \text{A} no nó D.\n
    Escrevendo KCL (correntes saindo do nó D somadas, menos as correntes que entram, igual a zero):
\dfrac{V_D - V_C}{10} + \dfrac{V_D}{200} + 2 - 5 = 0.
Simplifico 2 - 5 = -3, então:
\dfrac{V_D - V_C}{10} + \dfrac{V_D}{200} - 3 = 0.
Multiplico por 200:
20(V_D - V_C) + V_D - 600 = 0,
portanto
-20V_C + 21V_D = 600.

Passo 7

Agora tenho o sistema linear (reunindo as equações obtidas):
\begin{cases} 3V_A - V_B = 400,\\[4pt] -5V_A + 11V_B - 4V_C = 0,\\[4pt] -2V_B + 12V_C - 10V_D = -50,\\[4pt] -20V_C + 21V_D = 600. \end{cases}
Uso a primeira equação para eliminar V_A. Da primeira:
V_A = \dfrac{400 + V_B}{3}.
Substituo em -5V_A + 11V_B - 4V_C = 0:
-5\left(\dfrac{400 + V_B}{3}\right) + 11V_B - 4V_C = 0.
Multiplico por 3:
-5(400 + V_B) + 33V_B - 12V_C = 0 \Rightarrow -2000 -5V_B +33V_B -12V_C =0.
Agrupando:
28V_B - 12V_C = 2000.
Dividindo por 4 para simplificar:
7V_B - 3V_C = 500. \tag{A}]

Passo 8

Da equação do nó D (última), isolo V_D em função de V_C:
21V_D = 600 + 20V_C \quad\Rightarrow\quad V_D = \dfrac{20V_C + 600}{21}.
Substituo esse V_D na equação do nó C:
-2V_B + 12V_C - 10V_D = -50.
Substituindo V_D:
-2V_B + 12V_C -10\left(\dfrac{20V_C + 600}{21}\right) = -50.
Multiplico tudo por 21 para eliminar denominação:
-42V_B + 252V_C - (200V_C + 6000) = -1050.
Simplifico os termos:
-42V_B + 52V_C - 6000 = -1050 \quad\Rightarrow\quad -42V_B + 52V_C = 4950.
Divido por 2 para simplificar:
-21V_B + 26V_C = 2475. \tag{B}

Passo 9

Agora resolvo o sistema 2×2 formado por (A) e (B):
\begin{cases} 7V_B - 3V_C = 500,\\\\ -21V_B + 26V_C = 2475. \end{cases}
Multiplico (A) por 3 para eliminar V_B ao somar com (B):
21V_B - 9V_C = 1500.
Somando com (B):
(21V_B - 9V_C) + (-21V_B + 26V_C) = 1500 + 2475,
resulta
17V_C = 3975 \quad\Rightarrow\quad V_C = \dfrac{3975}{17}.
Agora uso (A) para achar V_B:
7V_B - 3\left(\dfrac{3975}{17}\right) = 500 \quad\Rightarrow\quad 7V_B = 500 + \dfrac{11925}{17} = \dfrac{20425}{17}.
Portanto
V_B = \dfrac{20425}{119}.
Como valor decimal (aproximado) usando vírgula:
V_B \approx 171{,}639\\ \text{V}.

Passo 10

Lembrete: v_{p} foi definido como V_B. Assim o resultado obtido para V_B é o v_{p} pedido.

Resposta

\displaystyle v_{p} = \dfrac{20425}{119}\\ \text{V} \approx 171{,}639\\ \text{V}

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