Considere um fio reto de seção reta circular com raio de 10 mm feito de um material condutor ruim. Por este fio passa uma corrente elétrica de 8,6 \times 10 \mathrm{~A} que se distribui uniformemente pela seção reta do fio. Calcule a magnitude do campo magnético num círculo de raio de 7,7 \mathrm{~mm}, centrado no eixo do fio. Considere que a constante de permeabilidade do material é igual a do vácuo. Se necessário, use a letra u para expressar o prefixo de unidade micro, \mu.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a magnitude do campo magnético num círculo interno ao fio:
  • Raio do fio: \,R=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Corrente total que atravessa a seção: \,I=8{,}6\times10\\ \mathrm{A}=86\\ \mathrm{A}. (Interpretei a escrita 8{,}6\times10\\ \mathrm{A} como 86\\ \mathrm{A}.)
  • Raio do círculo onde queremos o campo (centro no eixo): \,r=7{,}7\\ \mathrm{mm}=0{,}0077\\ \mathrm{m}.
  • Permeabilidade do material igual à do vácuo: \,\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
O que pedimos: a magnitude do campo magnético \,B no ponto situado sobre um círculo de raio \,r (com \,r<R), ou seja, dentro do fio, assumindo distribuição de corrente uniforme na seção.

Passo 2

Conceito físico e ideia para resolver (explicação didática): quando a corrente está distribuída uniformemente numa seção circular, a densidade de corrente (corrente por área) é constante. Definimos a densidade de corrente como
J=\frac{I}{A}=\frac{I}{\pi R^2},
onde \,A=\pi R^2 é a área total da seção. A corrente que passa somente pela área interna ao raio \,r (essa é a corrente “enclausurada” ao considerar um caminho circular de raio \,r) é a densidade vezes a área menor:
I_{\text{enc}}=J\cdot \pi r^2 = I\frac{r^2}{R^2}.
Esse passo é importante: ele nos dá a fração da corrente total que efetivamente contribui para o campo numa distância interior \,r.

Passo 3

Fórmula de Ampère (aplicada de forma prática e intuitiva): para simetria circular, o campo magnético na superfície de um círculo de raio \,r centrado no eixo é tangencial e de módulo constante ao longo do caminho circular. Assim a lei de Ampère no caso dá
B\cdot (2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}.
Isolando B,
B=\frac{\mu_0 I_{\text{enc}}}{2\pi r}.
Substituindo a expressão de \,I_{\text{enc}} achada no passo anterior obtemos a fórmula prática para o campo dentro do fio:
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{R^2}.
Observação didática: essa fórmula mostra que, dentro do fio com corrente uniforme, o campo cresce linearmente com \,r (até o raio do fio) — comportamento diferente do campo fora do fio, onde B\propto 1/r.

Passo 4

Agora vamos substituir as constantes e converter tudo para o SI com cuidado:
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad I=86\\ \mathrm{A},\qquad r=0{,}0077\\ \mathrm{m},\qquad R=0{,}01\\ \mathrm{m}.
A fórmula a usar é
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{R^2}.

Passo 5

Simplificação algébrica antes da conta numérica (para deixar mais simples os números):
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}.
Portanto
B=2\times10^{-7}\cdot I\cdot\frac{r}{R^2}.

Passo 6

Agora a conta numérica passo a passo:
Calcule \,R^2:
R^2=(0{,}01)^2=0{,}0001\\ \mathrm{m}^2.
Substituindo,
B=2\times10^{-7}\times86\times\frac{0{,}0077}{0{,}0001}.
Dividindo \,0{,}0077/0{,}0001=77:
B=2\times10^{-7}\times86\times77.

Passo 7

Continuando a multiplicação:
86\times77 = 86\times(70+7)=86\cdot70+86\cdot7=6020+602=6622.
Então
B=2\times10^{-7}\times6622=13244\times10^{-7}=1{,}3244\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação do resultado: com três algarismos significativos (compatível com os dados fornecidos) ficamos com
B\approx1{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{T}=1{,}32\\ \mathrm{mT}.
Isso significa que, a \,7{,}7\\ \mathrm{mm} do eixo (ainda dentro do fio), o campo magnético tem magnitude de aproximadamente 1{,}32\\ \mathrm{mT}. Vai aumentando linearmente com r até o valor na superfície do fio.

Resposta

B\approx1{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{T}=1{,}32\\ \mathrm{mT}

Exercícios relacionados