Determine o termo geral da sequência:
\{-1,3,-5,7,-9,11, \ldots}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são -1,\,3,\,-5,\,7,\,-9,\,11,\ldots e pede o termo geral dessa sequência.
Informações explícitas que temos (peguei os valores da própria sequência):
  • Primeiro termo: a_1=-1.
  • Segundo termo: a_2=3.
  • Terceiro termo: a_3=-5.
  • Quarto termo: a_4=7.
  • Quinto termo: a_5=-9.
  • Sexto termo: a_6=11.
O objetivo: escrever uma fórmula a_n que gere esses valores para n=1,2,3,\ldots.

Passo 2

Vamos olhar primeiro os valores absolutos dos termos: 1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\ldots. Esses são os números ímpares consecutivos. Uma forma padrão de escrever o n-ésimo número ímpar é
2n-1,
porque para n=1 2\cdot1-1=1, para n=2 2\cdot2-1=3, para n=3 5, e assim por diante.
Portanto a magnitude do termo a_n (isto é, sem considerar o sinal) é 2n-1.

Passo 3

Agora observemos os sinais dos termos: -, +, -, +, -, +, … — ou seja, alternam de negativo para positivo a cada termo, e o primeiro termo ( n=1) é negativo. Uma maneira padrão de representar alternância de sinal é usar a potência de -1. Lembrete rápido sobre (-1)^n:
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1.
  • Se n é par então (-1)^n=+1.
Fazendo uma pequena tabela mental:
  • n=1 \Rightarrow (-1)^1=-1 (queremos sinal negativo para o primeiro termo).
  • n=2 \Rightarrow (-1)^2=+1 (segundo termo positivo).
  • n=3 \Rightarrow (-1)^3=-1 (terceiro negativo), etc.
Portanto o fator de sinal adequado é (-1)^n.

Passo 4

Agora combinamos a magnitude 2n-1 com o fator de sinal (-1)^n. Multiplicando-os obtemos a fórmula candidata para o termo geral:
a_n = (-1)^n(2n-1),
com n=1,2,3,\ldots.

Passo 5

Vamos verificar substituindo alguns n para ter certeza de que bate com a sequência dada:
a_1 = (-1)^1(2\cdot1-1)= -1\cdot1 = -1,
a_2 = (-1)^2(2\cdot2-1)= +1\cdot3 = 3,
a_3 = (-1)^3(2\cdot3-1)= -1\cdot5 = -5,
a_4 = (-1)^4(2\cdot4-1)= +1\cdot7 = 7.
Esses resultados coincidem exatamente com os termos fornecidos, então a fórmula está correta.

Passo 6

Observações úteis para a prova:
  • Escreva sempre qual índice está sendo usado (aqui usamos n\ge 1).
  • Alternância de sinais costuma ser representada por (-1)^n ou (-1)^{n+1}; escolha a que faça o primeiro termo ter o sinal correto. No nosso caso o primeiro termo é negativo, por isso (-1)^n (com n=1 dando -1) foi a escolha natural.
  • Fórmulas equivalentes: por manipulação algébrica, uma forma alternativa é a_n = (-1)^{n+1}(1-2n), que é algebraicamente igual a (-1)^n(2n-1).

Passo 7

Dica final rápida (ânimo!): quando a sequência mostra números crescentes em módulo e sinais que alternam, tente separar “magnitude” e “sinal” — é uma maneira muito prática de achar o termo geral sem dor de cabeça.

Resposta

a_n = (-1)^n(2n-1),\quad n=1,2,3,\ldots

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