Determine o termo geral da sequência:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
e pede o termo geral dessa sequência.
Informações explícitas que temos (peguei os valores da própria sequência):
Informações explícitas que temos (peguei os valores da própria sequência):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
. - Quinto termo:
. - Sexto termo:
.
O objetivo: escrever uma fórmula
que gere esses valores para
.
Passo 2
Vamos olhar primeiro os valores absolutos dos termos:
. Esses são os números ímpares consecutivos. Uma forma padrão de escrever o
-ésimo número ímpar é
porque para
dá
, para
dá
, para
dá
, e assim por diante.
Portanto a magnitude do termo (isto é, sem considerar o sinal) é
.
Portanto a magnitude do termo
Passo 3
Agora observemos os sinais dos termos: -, +, -, +, -, +, … — ou seja, alternam de negativo para positivo a cada termo, e o primeiro termo (
) é negativo. Uma maneira padrão de representar alternância de sinal é usar a potência de
. Lembrete rápido sobre
:
- Se
é ímpar então . - Se
é par então .
Fazendo uma pequena tabela mental:
-
(queremos sinal negativo para o primeiro termo). -
(segundo termo positivo). -
(terceiro negativo), etc.
Portanto o fator de sinal adequado é
.
Passo 4
Agora combinamos a magnitude
com o fator de sinal
. Multiplicando-os obtemos a fórmula candidata para o termo geral:
com
.
Passo 5
Vamos verificar substituindo alguns
para ter certeza de que bate com a sequência dada:
Esses resultados coincidem exatamente com os termos fornecidos, então a fórmula está correta.
Passo 6
Observações úteis para a prova:
- Escreva sempre qual índice está sendo usado (aqui usamos
). - Alternância de sinais costuma ser representada por
ou ; escolha a que faça o primeiro termo ter o sinal correto. No nosso caso o primeiro termo é negativo, por isso (com dando ) foi a escolha natural. - Fórmulas equivalentes: por manipulação algébrica, uma forma alternativa é
, que é algebraicamente igual a .
Passo 7
Dica final rápida (ânimo!): quando a sequência mostra números crescentes em módulo e sinais que alternam, tente separar “magnitude” e “sinal” — é uma maneira muito prática de achar o termo geral sem dor de cabeça.