Determine o termo geral da sequência:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
e pede: determinar o termo geral dessa sequência.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
. - A sequência repete esses dois valores indefinidamente, alternando entre
e .
Passo 2
O que significa “termo geral”?
O termo geral é uma fórmula que, dado o índice
(geralmente começando em
), retorna o
-ésimo termo da sequência. Aqui queremos uma expressão que produza
quando
é ímpar e
quando
é par.
O termo geral é uma fórmula
Passo 3
Identificar o padrão pelos índices:
- Para
(ímpar) temos . - Para
(par) temos . - Para
(ímpar) temos .
Logo:se é ímpar, e se é par.
Passo 4
Uma função matemática simples que alterna sinais é
. Vamos estudar seu comportamento:
-
quando é ímpar. -
quando é par.
Isso já tem a alternância que precisamos (valores
e
), mas nossos valores desejados são
e
. Podemos tentar uma combinação linear do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Determinar
Para
(temos
):
Agora resolvemos o sistema
Somando as duas equações:
Substituindo em (A + B = 3]:
Portanto a fórmula candidata é
]
Portanto a fórmula candidata é
Passo 6
Verificação simples para confirmar:
- Se
é ímpar, , então . OK. - Se
é par, , então . OK.
Logo a fórmula funciona para todos os.
Passo 7
Formas equivalentes (só para conhecimento rápido):
- Forma alternativa piecewise:
- Outra forma usando
:
Essas são matematicamente equivalentes à fórmula obtida.]