Determine o termo geral da sequência:
\{-1,3,-1,3,-1,3, \ldots}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são \{-1,3,-1,3,-1,3,\ldots\} e pede: determinar o termo geral dessa sequência.
Informações dadas:
  • O primeiro termo é -1.
  • O segundo termo é 3.
  • A sequência repete esses dois valores indefinidamente, alternando entre -1 e 3.

Passo 2

O que significa “termo geral”?
O termo geral é uma fórmula a_n que, dado o índice n\in\mathbb{N} (geralmente começando em n=1), retorna o n-ésimo termo da sequência. Aqui queremos uma expressão que produza -1 quando n é ímpar e 3 quando n é par.

Passo 3

Identificar o padrão pelos índices:
  • Para n=1 (ímpar) temos a_1=-1.
  • Para n=2 (par) temos a_2=3.
  • Para n=3 (ímpar) temos a_3=-1.
    Logo: a_n=-1 se n é ímpar, e a_n=3 se n é par.

Passo 4

Uma função matemática simples que alterna sinais é (-1)^n. Vamos estudar seu comportamento:
  • (-1)^n = -1 quando n é ímpar.
  • (-1)^n = 1 quando n é par.
Isso já tem a alternância que precisamos (valores -1 e 1), mas nossos valores desejados são -1 e 3. Podemos tentar uma combinação linear do tipo
a_n = A\cdot(-1)^n + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Determinar A\) e \(B\) usando os dois primeiros termos: Para \(n=1\) (temos \(a_1=-1\)): \[A\cdot(-1)^1 + B = -1 \quad\Rightarrow\quad -A + B = -1.
Para n=2 (temos a_2=3):
A\cdot(-1)^2 + B = 3 \quad\Rightarrow\quad A + B = 3.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} -A + B = -1,\\[4pt] A + B = 3. \end{cases}
Somando as duas equações:
2B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = 1.
Substituindo em (A + B = 3]:
A + 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad A = 2.
Portanto a fórmula candidata é
a_n = 2\cdot(-1)^n + 1.]

Passo 6

Verificação simples para confirmar:
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1, então a_n = 2(-1)+1=-2+1=-1. OK.
  • Se n é par, (-1)^n=1, então a_n = 2(1)+1=3. OK.
    Logo a fórmula funciona para todos os n.

Passo 7

Formas equivalentes (só para conhecimento rápido):
  • Forma alternativa piecewise:
a_n=\begin{cases} -1, & \text{se }n\text{ é ímpar},\\[4pt] 3, & \text{se }n\text{ é par}. \end{cases}éíé
  • Outra forma usando (-1)^{n+1}:
a_n = 1 - 2\cdot(-1)^{n+1}.
Essas são matematicamente equivalentes à fórmula obtida.]

Resposta

a_n = 2(-1)^n + 1

Exercícios relacionados