Demonstre:
\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\ldots+n\binom{n}{n}=n 2^{n-1}, n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\ldots+n\binom{n}{n}=n 2^{n-1},\qquad n\ge 1.
Ou seja, listar claramente: a soma à esquerda é
\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k},
e o objetivo é provar que essa soma vale \,n2^{n-1} para todo inteiro \,n\ge 1.

Passo 2

Vamos entender o que é cada pedaço da soma (sem resolver ainda). O símbolo \binom{n}{k} significa “n escolhe k”, isto é, o número de subconjuntos de tamanho \,k que se pode formar a partir de um conjunto de \,n elementos. Formalmente,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! é o fatorial de \,n. Um exemplo para fixar a ideia: se \,n=3, então \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1.

Passo 3

Interpretação combinatória da soma à esquerda. Pense num conjunto fixo com \,n elementos (por exemplo, \{1,2,\dots,n\}). Considere pares ordenados (S,a) tais que:
  • S é um subconjunto não-vazio de \{1,\dots,n\},
  • a é um elemento de S (ou seja, um elemento “destacado” dentro de S).
Agora vamos contar quantos pares (S,a) existem, agrupando por tamanho do subconjunto S. Se S tem exatamente \,k elementos, então:
  • o número de escolhas de S com tamanho \,k é \binom{n}{k},
  • para cada tal S há exatamente \,k opções para escolher o elemento destacado a dentro de S.
Logo, o número de pares (S,a) com |S|=k é k\binom{n}{k}. Somando sobre todos os tamanhos possíveis k=1,2,\dots,n obtemos exatamente a soma do enunciado:
\text{(total de pares \((S,a)\))}=\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}.

Passo 4

Contagem alternativa (mais direta) dos mesmos pares (S,a). Em vez de agrupar por tamanho de S, vamos construir um par (S,a) em duas etapas:
  1. Escolher o elemento destacado a. Há \,n escolhas possíveis para a.
  2. Depois de escolhido a, escolher arbitrariamente quais dos outros \,n-1 elementos entram ou não em S. Cada um dos \,n-1 elementos restantes pode estar ou não em S, independentemente, então há 2^{\,n-1} escolhas possíveis do conjunto dos outros elementos. (Aqui permitimos que nenhum dos outros elementos entre, porque já temos a em S, então S nunca fica vazio.)
Portanto, contando dessa maneira:
\text{(total de pares \((S,a)\))}=n\cdot 2^{\,n-1}.

Passo 5

Igualando as duas contagens do mesmo conjunto de pares (S,a) (Passo 3 e Passo 4) obtemos
\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k} = n\cdot 2^{\,n-1}.
Isso é exatamente a identidade que precisava ser demonstrada.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para ganhar confiança. Tome \,n=3. A soma do enunciado é
\binom{3}{1}+2\binom{3}{2}+3\binom{3}{3}=3+2\cdot 3+3\cdot 1=3+6+3=12.
A fórmula do lado direito dá \,n2^{n-1}=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12. Confere!

Passo 7

(Prova alternativa — via fórmula do binômio e diferencial, caso goste de manipulações algébricas.) A identidade do binômio diz
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
n(1+x)^{\,n-1}=\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}x^{\,k-1}.
Multiplicando por x:
n x(1+x)^{\,n-1}=\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}x^{\,k}.
Agora basta definir x=1 para que o lado esquerdo vire n\cdot 1\cdot 2^{\,n-1}=n2^{\,n-1} e o lado direito vire a soma desejada. Logo a identidade vale.

Passo 8

Resumo e incentivo: demonstrámos a identidade de duas maneiras — uma combinatória (contando pares (S,a) de dois jeitos) e outra algébrica (derivando o binômio). Ambas são válidas; a combinatória é muitas vezes mais intuitiva em provas rápidas de competição ou na prova da faculdade. Você conseguiu! Respira, reveja os passos devagar e pratique com \,n=2,3,4 para fixar.

Resposta

\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\ldots+n\binom{n}{n}=n 2^{n-1}

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