(e) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (2 x^2-1x^3)^10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar o termo independente de $ x $ no desenvolvimento de $ \left(2x^{2} - \frac{1}{x{3}}\right){10} $. A gente vai usar a teoria do binômio de Newton, que ajuda a expandir expressões desse tipo. Precisamos identificar qual combinação de potências de $ 2x^{2} $ e $ -\frac{1}{x^{3}} $ vai resultar em $ x^{0} $, ou seja, sem $ x $ na expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o teorema do binômio de Newton, que diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aqui, $ a = 2x^{2} $, $ b = -\frac{1}{x^{3}} $, e $ n = 10 $. Cada termo da expansão vai ser da forma:
a = 2x^2

Passo 3

Vamos simplificar esse termo geral:
binom10k cdot 2^10 - k cdot (-1)^k cdot x^2(10 - k) cdot x^-3k
Agora, juntando os exponents de $ x $:
x

Passo 4

Queremos o termo onde o expoente de $ x $ é zero:
x
Então, o termo independente ocorre quando $ k = 4 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o termo para $ k = 4 $:
k = 4
Simplificando:
binom104 cdot 2^10 - 4 cdot (-1)^4 cdot x^0

Passo 6

Calculando $ \binom{10}{4} $:
binom104
Então:
binom104 = 10!4! cdot 6! = 210

Resposta

O termo independente de $ x $ no desenvolvimento é 13.440.

Exercícios relacionados