(e) Determine o termo independente de
no desenvolvimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar o termo independente de $ x $ no desenvolvimento de $ \left(2x^{2} - \frac{1}{x{3}}\right){10} $. A gente vai usar a teoria do binômio de Newton, que ajuda a expandir expressões desse tipo. Precisamos identificar qual combinação de potências de $ 2x^{2} $ e $ -\frac{1}{x^{3}} $ vai resultar em $ x^{0} $, ou seja, sem $ x $ na expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o teorema do binômio de Newton, que diz que:
Aqui, $ a = 2x^{2} $, $ b = -\frac{1}{x^{3}} $, e $ n = 10 $. Cada termo da expansão vai ser da forma:
Passo 3
Vamos simplificar esse termo geral:
Agora, juntando os exponents de $ x $:
Passo 4
Queremos o termo onde o expoente de $ x $ é zero:
Então, o termo independente ocorre quando $ k = 4 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular o termo para $ k = 4 $:
Simplificando:
Passo 6
Calculando $ \binom{10}{4} $:
Então:
Resposta
O termo independente de $ x $ no desenvolvimento é 13.440.