(b) Quanto são os anagramas da palavra CAPÍTULO onde nenhuma letra aparece na sua posição original?
Passo 1
Então, a gente tem a palavra CAPÍTULO e o desafio é descobrir quantos anagramas dela existem onde nenhuma letra fica na posição que ela originalmente ocupava. Vamos usar conceitos de permutação e deranjo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas letras tem a palavra CAPÍTULO. Ela tem 8 letras, todas diferentes: C, A, P, Í, T, U, L, O. Isso é importante porque estamos lidando com permutações de 8 elementos diferentes.
Passo 3
A gente precisa calcular os anagramas onde nenhuma letra está na posição original, o que em matemática chamamos de deranjo. O deranjo de um conjunto de elementos é o número de maneiras de rearranjá-los de forma que nenhum elemento fique na sua posição inicial.
Passo 4
A fórmula para calcular o deranjo de $ n $ elementos é:
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $ (ou seja, o produto de todos os números de 1 até $ n $).
Passo 5
Aplicando essa fórmula para $ n = 8 $:
Passo 6
Calculando cada termo da série:
Passo 7
Sabemos que $ 8! = 40320 $. Multiplicando isso pela soma dos termos:
Resposta
Existem 14.833 anagramas da palavra CAPÍTULO onde nenhuma letra aparece na sua posição original.