1 / 1 Determine the angles made by the vector \mathbf{V}=40 \mathbf{i}30 \mathbf{j} with the positive x - and y-axes. Write the unit vector \mathbf{n} in the direction of \mathbf{V}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar o ângulo que o vetor \mathbf{V}=40\mathbf{i}+30\mathbf{j} faz com o eixo positivo x.
Determinar o ângulo que o mesmo vetor faz com o eixo positivo y.
Escrever o vetor unitário \mathbf{n} na direção de \mathbf{V}.
Informações fornecidas:
As componentes do vetor são \;V_x=40\; e \;V_y=30\;.
O sistema de eixos é o usual com \mathbf{i} apontando para o eixo x positivo e \mathbf{j} para o eixo y positivo.
Passo 2
Vamos lembrar a ideia-chave para medir o ângulo entre um vetor e um eixo: se \mathbf{u} é um vetor unitário ao longo do eixo (por exemplo \mathbf{i} ou \mathbf{j}), então o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{V} e \mathbf{u} é dado por
Aqui \mathbf{V}\cdot\mathbf{u} é o produto escalar e |\mathbf{V}| é o módulo (comprimento) de \mathbf{V}. Como |\mathbf{i}|=|\mathbf{j}|=1, isso simplifica para
Observação de verificação: \theta_y e \theta_x somam 90^\circ neste caso porque o vetor está no primeiro quadrante e \theta_y=90^\circ-\theta_x, e de fato 36,87^\circ+53,13^\circ=90,00^\circ.
Passo 6
Agora constroem-se o vetor unitário \mathbf{n} na direção de \mathbf{V}. Pela definição:
Resumo final: calculamos o módulo exatamente, usamos as relações de cosseno com as componentes para obter os ângulos e normalizamos o vetor para obter \mathbf{n}. Boa! Está feito — e esse tipo de problema é sempre basicamente: achar o módulo, dividir as componentes pelo módulo para obter o unitário e usar arccos (ou arctan) para os ângulos.