1 / 1 Determine the angles made by the vector \mathbf{V}=40 \mathbf{i} 30 \mathbf{j} with the positive x - and y-axes. Write the unit vector \mathbf{n} in the direction of \mathbf{V}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o ângulo que o vetor \mathbf{V}=40\mathbf{i}+30\mathbf{j} faz com o eixo positivo x.
  • Determinar o ângulo que o mesmo vetor faz com o eixo positivo y.
  • Escrever o vetor unitário \mathbf{n} na direção de \mathbf{V}.
Informações fornecidas:
  • As componentes do vetor são \;V_x=40\; e \;V_y=30\;.
  • O sistema de eixos é o usual com \mathbf{i} apontando para o eixo x positivo e \mathbf{j} para o eixo y positivo.

Passo 2

Vamos lembrar a ideia-chave para medir o ângulo entre um vetor e um eixo: se \mathbf{u} é um vetor unitário ao longo do eixo (por exemplo \mathbf{i} ou \mathbf{j}), então o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{V} e \mathbf{u} é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{V}\cdot\mathbf{u}}{|\mathbf{V}|\;|\mathbf{u}|}.
Aqui \mathbf{V}\cdot\mathbf{u} é o produto escalar e |\mathbf{V}| é o módulo (comprimento) de \mathbf{V}. Como |\mathbf{i}|=|\mathbf{j}|=1, isso simplifica para
\cos\theta_x=\frac{V_x}{|\mathbf{V}|},\qquad \cos\theta_y=\frac{V_y}{|\mathbf{V}|},
onde \theta_x é o ângulo com o eixo x e \theta_y com o eixo y.
Também a definição do vetor unitário na direção de \mathbf{V} é
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{V}}{|\mathbf{V}|}.

Passo 3

Primeiro calculamos o módulo de \mathbf{V}:
|\mathbf{V}|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}=\sqrt{40^{2}+30^{2}}.
Agora as contas:
40^{2}=1600,\qquad 30^{2}=900,\qquad 1600+900=2500,
logo
|\mathbf{V}|=\sqrt{2500}=50.
Observação prática: as componentes formam um triângulo 3\!-\!4\!-\!5 multiplicado por 10, por isso o módulo é 50.

Passo 4

Usando a fórmula do cosseno para o ângulo com o eixo x:
\cos\theta_x=\frac{V_x}{|\mathbf{V}|}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}=0,8.
Então
\theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{5}\right).
Para um valor numérico conhecido,
\theta_x\approx36,87^\circ.
(Em radianos isso é \theta_x\approx0,6435\\ \text{rad}, caso precise.)

Passo 5

Agora para o ângulo com o eixo y:
\cos\theta_y=\frac{V_y}{|\mathbf{V}|}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}=0,6.
Logo
\theta_y=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{5}\right).
Numericamente,
\theta_y\approx53,13^\circ.
Observação de verificação: \theta_y e \theta_x somam 90^\circ neste caso porque o vetor está no primeiro quadrante e \theta_y=90^\circ-\theta_x, e de fato 36,87^\circ+53,13^\circ=90,00^\circ.

Passo 6

Agora constroem-se o vetor unitário \mathbf{n} na direção de \mathbf{V}. Pela definição:
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{V}}{|\mathbf{V}|}=\frac{1}{50}\big(40\mathbf{i}+30\mathbf{j}\big).
Dividindo as componentes:
\mathbf{n}=\frac{40}{50}\mathbf{i}+\frac{30}{50}\mathbf{j}=\frac{4}{5}\mathbf{i}+\frac{3}{5}\mathbf{j}.
Verificação rápida do módulo de \mathbf{n}:
\Big|\mathbf{n}\Big|=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1,
confirmando que é unitário.

Passo 7

Resumo final: calculamos o módulo exatamente, usamos as relações de cosseno com as componentes para obter os ângulos e normalizamos o vetor para obter \mathbf{n}. Boa! Está feito — e esse tipo de problema é sempre basicamente: achar o módulo, dividir as componentes pelo módulo para obter o unitário e usar arccos (ou arctan) para os ângulos.

Resposta

\theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\approx36,87^\circ
\theta_y=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{5}\right)\approx53,13^\circ
\mathbf{n}=\dfrac{4}{5}\mathbf{i}+\dfrac{3}{5}\mathbf{j}

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