Exercício 6. Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=x^{3}-x

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=x^{3}-x e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra: g(x)=x^{3}-x.

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Uma função f é injetora se, sempre que f(a)=f(b), então necessariamente a=b. Em outras palavras: valores distintos de entrada não podem produzir o mesmo valor de saída.
  • Uma função f é sobrejetora se, para todo y do contradomínio, existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio.
  • Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 3

Escolha do método:
  • Para testar injetividade vou usar uma manipulação algébrica do que ocorre quando g(a)=g(b): isso costuma revelar se existem a\neq b com mesma imagem.
  • Para testar sobrejetividade vou usar propriedades de polinômios (continuidade e comportamento em \pm\infty) e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de solução para g(x)=y para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Suponha que g(a)=g(b) para a,b\in\mathbb{R}. Então
a^{3}-a=b^{3}-b.
Subtraindo b^{3}-b dos dois lados:
a^{3}-a-(b^{3}-b)=0.
Agrupando termos:
(a^{3}-b^{3})-(a-b)=0.
Lembrando que a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}), obtemos
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})-(a-b)=0.
Fatorando (a-b):
(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}-1\bigr)=0.
Logo, para g(a)=g(b) vale
(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}-1\bigr)=0.
Isto implica que ou a=b, ou
a^{2}+ab+b^{2}=1.
Portanto existem duas possibilidades: igualdade trivial a=b ou pares distintos (a,b) que satisfazem a última relação. Para mostrar que g não é injetora basta apresentar um exemplo concreto com a\neq b que satisfaça essa relação.
Um exemplo simples: escolha a=1 e b=-1. Calcula-se
a^{2}+ab+b^{2}=1^{2}+1\cdot(-1)+(-1)^{2}=1-1+1=1,
portanto a^{2}+ab+b^{2}=1 com a\neq b. Verificando as imagens:
g(1)=1^{3}-1=0,\qquad g(-1)=(-1)^{3}-(-1)=-1+1=0.
Como g(1)=g(-1) e 1\neq -1, concluímos que g não é injetora.
Como comentário intuitivo: a presença de um intervalo onde a derivada muda de sinal (ver abaixo) também explica por que a função não é estritamente monotônica e, portanto, não injetora. (Opcional: g'(x)=3x^{2}-1 é negativa para |x|<1/\sqrt{3} e positiva fora disso.)

Passo 5

Queremos mostrar que para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que g(x)=y. Defina o polinômio
p(x)=g(x)-y=x^{3}-x-y.
Observações úteis sobre p:
  • p é um polinômio de grau 3 (grau ímpar) com coeficiente líder positivo ( 1).
  • Assim, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty.
Como p é contínua em \mathbb{R} (toda função polinomial é contínua), o Teorema do Valor Intermediário implica que, se escolhermos A muito negativo e B muito positivo, teremos p(A)<0 e p(B)>0, logo existe c\in(A,B) tal que p\text{(c)}=0. Em palavras: para qualquer y fixo, a equação x^{3}-x-y=0 tem pelo menos uma raiz real. Portanto, para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} com g(x)=y. Isso mostra que g é sobrejetora.
Outra maneira curta de ver isso (mesma ideia): polinômios de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real, então x^{3}-x-y sempre tem solução real para qualquer y.

Passo 6

Bijetividade exige ao mesmo tempo injetividade e sobrejetividade. Já demonstramos que g não é injetora (Passo 4) e que é sobrejetora (Passo 5). Portanto g não pode ser bijetora.

Resposta

g não é injetora.
g é sobrejetora.
g não é bijetora.

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