Exercício 6. Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra:
.
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Uma função
é injetora se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras: valores distintos de entrada não podem produzir o mesmo valor de saída. - Uma função
é sobrejetora se, para todo do contradomínio, existe pelo menos um no domínio tal que . Ou seja, a imagem de é todo o contradomínio. - Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 3
Escolha do método:
- Para testar injetividade vou usar uma manipulação algébrica do que ocorre quando
: isso costuma revelar se existem com mesma imagem. - Para testar sobrejetividade vou usar propriedades de polinômios (continuidade e comportamento em
) e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de solução para para todo .
Passo 4
Suponha que
para
. Então
Subtraindo
dos dois lados:
Agrupando termos:
Lembrando que
, obtemos
Fatorando
:
Logo, para
vale
Isto implica que ou
, ou
Portanto existem duas possibilidades: igualdade trivial
ou pares distintos
que satisfazem a última relação. Para mostrar que
não é injetora basta apresentar um exemplo concreto com
que satisfaça essa relação.
Um exemplo simples: escolha
e
. Calcula-se
portanto
com
. Verificando as imagens:
Como
e
, concluímos que
não é injetora.
Como comentário intuitivo: a presença de um intervalo onde a derivada muda de sinal (ver abaixo) também explica por que a função não é estritamente monotônica e, portanto, não injetora. (Opcional:
é negativa para
e positiva fora disso.)
Passo 5
Queremos mostrar que para todo
existe
tal que
. Defina o polinômio
Observações úteis sobre
:
-
é um polinômio de grau (grau ímpar) com coeficiente líder positivo ( ). - Assim,
e .
Como
é contínua em
(toda função polinomial é contínua), o Teorema do Valor Intermediário implica que, se escolhermos
muito negativo e
muito positivo, teremos
e
, logo existe
tal que
. Em palavras: para qualquer
fixo, a equação
tem pelo menos uma raiz real. Portanto, para todo
existe
com
. Isso mostra que
é sobrejetora.
Outra maneira curta de ver isso (mesma ideia): polinômios de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real, então
sempre tem solução real para qualquer
.
Passo 6
Bijetividade exige ao mesmo tempo injetividade e sobrejetividade. Já demonstramos que
não é injetora (Passo 4) e que é sobrejetora (Passo 5). Portanto
não pode ser bijetora.