Exercício 6. Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras: h: \mathbb{R} \rightarrow[0,+\infty), \quad h(x)=x^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a função h\colon \mathbb{R}\to[0,+\infty) definida por h(x)=x^{2}.
O que se pede: verificar se h é injetora, se h é sobrejetora e, por consequência, se h é bijetora.
Informações fornecidas: domínio \mathbb{R}, contradomínio [0,+\infty), e a fórmula h(x)=x^{2}.
Passo 2
O que significa “injetora” e como verificar:
Definição (formal e simples): uma função f é injetora se entradas distintas sempre dão saídas distintas. Formalmente,
Estratégia prática: para mostrar que NÃO é injetora basta encontrar x_1\neq x_2 tais que f(x_1)=f(x_2). Para mostrar que é injetora, deve-se provar que a igualdade das imagens implica obrigatoriamente igualdade das entradas.
Passo 3
Teste de injetividade para h: procurar um contraexemplo simples.
Calcule h(1) e h(-1):
h(1)=1^{2}=1, \qquad h(-1)=(-1)^{2}=1.
Aqui 1\neq -1 mas h(1)=h(-1). Logo existem duas entradas distintas com a mesma imagem, portanto h NÃO é injetora.
Complemento algébrico (explicação geral): suponha h(x_1)=h(x_2). Então
logo x_1=x_2 ou x_1=-x_2. A segunda possibilidade (x_1=-x_2) mostra que podem existir x_1\neq x_2 com imagens iguais, confirmando que a função não é injetora no domínio todo \mathbb{R}.
Passo 4
O que significa “sobrejetora” e como verificar:
Definição (formal e simples): uma função f é sobrejetora sobre um contradomínio C se toda y\in C é imagem de pelo menos um x do domínio. Formalmente,
Estratégia prática: dado um y qualquer do contradomínio, construir um x com f(x)=y.
Passo 5
Prova de sobrejetividade de h em relação a [0,+\infty):
Seja y um número qualquer em [0,+\infty). Então y\ge 0. Defina
x=\sqrt{y}.
Como \sqrt{y}\in\mathbb{R} e
h(x)=(\sqrt{y})^{2}=y,
vemos que existe x\in\mathbb{R} com h(x)=y. (Também poderia escolher x=-\sqrt{y}; ambos funcionam, exceto que para y=0 os dois coincidem em 0.) Como isso vale para todo y\in[0,+\infty), a função h é SOBREJETORA para o contradomínio dado.
Observação útil: se o contradomínio tivesse sido todo \mathbb{R} (incluindo números negativos), não seria sobrejetora, porque não existe x\in\mathbb{R} com x^{2}<0. Mas como o contradomínio foi fixado em [0,+\infty), a sobrejetividade é satisfeita.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade:
Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Aqui já mostramos que h NÃO é injetora e que h É sobrejetora (sobre [0,+\infty)). Portanto h NÃO é bijetora.
Comentário extra para a prova (dica prática): a restrição de domínio torna possível transformar h em bijeção. Por exemplo, a função