Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln (x^3+1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e encontrar a derivada da função f(x)=ln(x^3+1). O conteúdo envolve funções logarítmicas e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos x^3+1>0. Como a função x^3 é estritamente crescente em R, isso equivale a x>-1. Portanto, o domínio é (-1,infty).

Passo 3

Para calcular a derivada, aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=ln(u(x)), então f'(x)=u'(x)/u(x). Aqui u(x)=x^3+1, logo u'(x)=3x^2. Assim, a derivada é f'(x)=3x^2x^3+1.

Resposta

Domínio: (-1,infty). Derivada: f'(x)=3x^2x^3+1.

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