Questão 1 ( 4,0 pontos) . Dê o que se pede:
Calcule a integral integral1^4(3 raizx+2x+e^2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a integral definida de uma função que mistura raízes, frações e exponenciais. Estamos lidando com cálculo integral, um assunto da matemática que ajuda a encontrar a área sob curvas ou acumular quantidades. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções do tipo raiz quadrada, fração e exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples para facilitar o cálculo. A integral dada é:
integral1^4(3 raizx+2x+e^2 x) dx
Podemos dividir isso em três integrais individuais:
3 integral1^4 raizx , dx + 2 integral1^4 1x , dx + integral1^4 e^2x , dx

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: 3 integral raizx , dx.
Sabemos que raizx é igual a x^1/2. A regra de integração para x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
3 integral x^1/2 , dx = 3 cdot x^3/23/2 = 3 cdot 23 x^3/2 = 2 x^3/2

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: 2 integral 1x , dx.
A integral de 1x é o logaritmo natural:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Então:
2 integral 1x , dx = 2 ln|x|

Passo 5

Por último, temos a terceira parte: integral e^2x , dx.
Para integrar e^kx, usamos a regra:
integral e^kx , dx = 1k e^kx + C
Aqui, k = 2:
integral e^2x , dx = 12 e^2x

Passo 6

Agora, juntando todas as partes integradas, temos a antiderivada completa:
2 x^3/2 + 2 ln|x| + 12 e^2x

Passo 7

Para calcular a integral definida de 1 a 4, aplicamos o teorema fundamental do cálculo, ou seja, avaliamos a antiderivada nos limites 4 e 1 e subtraímos:
[2 x^3/2 + 2 ln x + 12 e^2x]1^4 = (2(4)^3/2 + 2 ln 4 + 12 e^8) - (2(1)^3/2 + 2 ln 1 + 12 e^2)

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
Para x = 4:
2(4)^3/2 = 2 cdot 8 = 16
2 ln 4 approx 2 cdot 1.3863 approx 2.7726
12 e^8 approx 12 cdot 2980.958 approx 1490.479
Total para x = 4:
16 + 2.7726 + 1490.479 approx 1509.2516
Para x = 1:
2(1)^3/2 = 2 cdot 1 = 2
2 ln 1 = 2 cdot 0 = 0
12 e^2 approx 12 cdot 7.3891 approx 3.6946
Total para x = 1:
2 + 0 + 3.6946 approx 5.6946

Resposta

Subtraindo os valores:
1509.2516 - 5.6946 approx 1503.557
Então, o valor da integral é aproximadamente 1503.56.

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