Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln (2 x+1).

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=ln(2x+1), do conteúdo de derivadas de funções logarítmicas. Vamos precisar entender o domínio do logaritmo e usar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento 2x+1 deve ser positivo. Então impomos 2x+1>0 e resolvemos:
Resolvendo 2x+1>0, temos 2x>-1 e portanto x>-1/2. Logo o domínio de f é (-1/2,∞).

Passo 3

Para derivar f(x)=ln(2x+1), usamos a regra da derivada do ln(u): f’(x)=u’(x)/u(x), onde u(x)=2x+1. Calculamos u’(x)=2.
Aplicando a regra da cadeia, obtemos f’(x)=2/(2x+1).

Resposta

Domínio: (-1/2,∞), f’(x)=\frac{2}{2x+1}

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