3- Precisa-se forjar uma peça, com dimensões finais de D=500 \mathrm{~mm} e H=100 \mathrm{~mm} . \mathbf{( 5 , 0 )}
a) Se a relação \mathrm{Do} / \mathrm{Ho}=1, quais as dimensões do blank? (\mathbf{2 , 0})

Passo 1

O enunciado dá a peça final como um cilindro com diâmetro final D=500\\ \mathrm{mm} e altura final H=100\\ \mathrm{mm}. Pede-se as dimensões do blank (o cilindro inicial) sabendo que a razão \mathrm{D_o}/\mathrm{H_o}=1.
Informações relevantes:
  • Dimensões finais: D=500\\ \mathrm{mm}, H=100\\ \mathrm{mm}.
  • Relação dada: \dfrac{\mathrm{D_o}}{\mathrm{H_o}}=1.
  • Pedido: determinar \mathrm{D_o} e \mathrm{H_o} do blank.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): na forja, assumindo material incompressível e sem perda de massa, o volume do blank inicial é igual ao volume da peça final. Isso vem da conservação da massa e da densidade constante. Para um cilindro a fórmula do volume é:
V = \frac{\pi}{4} \, D^2 \, H,
onde D é o diâmetro e H a altura. Aqui usaremos essa fórmula tanto para o blank inicial ( V_0) quanto para a peça final ( V_f).

Passo 3

Aplicando conservação de volume:
V_0 = V_f.
Escrevendo com as dimensões:
\frac{\pi}{4}\,\mathrm{D_o}^2\,\mathrm{H_o} \;=\; \frac{\pi}{4}\,D^2\,H.
Cancelando \dfrac{\pi}{4} dos dois lados:
\mathrm{D_o}^2\,\mathrm{H_o} = D^2\,H.
Agora uso a condição \dfrac{\mathrm{D_o}}{\mathrm{H_o}}=1, que implica \mathrm{D_o}=\mathrm{H_o}. Chamo esse valor comum de x:
\mathrm{D_o} = \mathrm{H_o} = x.
Substituindo na equação do volume:
x^2 \cdot x = D^2 H \quad\Rightarrow\quad x^3 = D^2 H.

Passo 4

Resolvo para x:
x = \sqrt[3]{D^2 H}.
Substituindo os valores numéricos:
D^2 H = 500^2 \cdot 100.
Calculo passo a passo (tudo em \mathrm{mm}^3):
500^2 = 250000,\qquad 250000\cdot100 = 25000000 = 25\times10^{6}.
Logo
x = \sqrt[3]{25\times10^{6}} = 10^{2}\sqrt[3]{25} = 100\sqrt[3]{25}.
Estimativa de \sqrt[3]{25} (método prático sem calculadora): sabe-se que 3^3=27, então \sqrt[3]{25} é um pouco menor que 3. Aplicando uma iteração de Newton para raiz cúbica com palpite 3:
y_{1} = \frac{2y_0 + \dfrac{25}{y_0^2}}{3} = \frac{2\cdot3 + 25/9}{3} \approx 2,9259259.
Outro passo rápido dá y\approx2,92398. Assim
x \approx 100\cdot 2,92398 \approx 292,398\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal:
x \approx 292,4\\ \mathrm{mm}.
Portanto \mathrm{D_o}=\mathrm{H_o}\approx292,4\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova: o blank é um cilindro com diâmetro igual à altura, ambos obtidos pela igualdade de volumes. Em questões de forja é comum aplicar exatamente esse raciocínio de conservação de volume; se houvesse tolerâncias ou sobras para usinagem, acrescenta-se allowance (não pedido aqui).

Resposta

\mathrm{D_o}=292,4\\ \mathrm{mm}
\mathrm{H_o}=292,4\\ \mathrm{mm}

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