Determine if the Intermediate Value Theorem holds for the given value of k.
f(x)=10-x^{2},[a, b]=[-1,3], k=5
  1. the function is continuous
  2. f(-1)=9, f(3)=1
  3. 5 is on [1,9]
    \therefore IVT applies

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para f(x)=10 - x^{2} no intervalo [a,b]=[-1,3] e para k=5. Para aplicar o TVI precisamos que:
  1. f seja contínua em [a,b].
  2. k esteja entre f(a) e f(b).

Passo 2

Como f(x)=10-x^{2} é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}, e em particular em [-1,3].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos: f(-1)=10-(-1)^{2}=10-1=9 f(3)=10-3^{2}=10-9=1

Passo 4

O valor k=5 está entre f(3)=1 e f(-1)=9, pois
1 \le 5 \le 9.

Passo 5

Pelas condições do TVI, existe pelo menos um c\in[-1,3] tal que
f\text{(c)}=5.

Resposta

Sim. O Teorema do Valor Intermediário se aplica e garante que existe c\in[-1,3] com f\text{(c)}=5.

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