Determine if the Intermediate Value Theorem holds for the given value of k.
f(x)=3-x^{2},[a, b]=[-2,1], k=0
  1. f(x) is continuous y
  2. f(-2)=-1, f(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3 - x^{2}
no intervalo [a,b]=[-2,1] e pede para verificar se o Teorema do Valor Intermediário (TVI) garante a existência de c\in[-2,1] tal que f\text{(c)}=k para k=0. O conteúdo é o TVI, que exige continuidade em [a,b] e que k esteja entre f(a) e f(b).

Passo 2

Verificamos a continuidade de f(x)=3 - x^{2}. Como é um polinômio, f é contínua em todo \mathbb{R} e, em particular, em [-2,1]. Assim, a hipótese de continuidade do TVI está satisfeita.

Passo 3

Calculamos os valores da função nas extremidades do intervalo:
f(-2)=3 - (-2)^{2}=3 - 4=-1,
f(1)=3 - 1^{2}=2.

Passo 4

Observamos que k=0 está entre f(-2)=-1 e f(1)=2, pois
-1 < 0 < 2.
Portanto, a segunda hipótese do TVI também se cumpre.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in[-2,1] tal que f\text{(c)}=0. De fato, resolvendo
3 - c^{2}=0
obtém-se c=\pm\sqrt{3}; apenas c=-\sqrt{3}\approx -1,732 pertence a [-2,1].

Resposta

O Teorema do Valor Intermediário vale para k=0, garantido por c=-\sqrt{3}\in[-2,1].

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