If the average normal stress in each of the 20-\mathrm{mm}-diameter bars is not allowed to exceed 150 MPa , determine the maximum force \mathbf{P} that can be applied to joint C.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Diâmetro de cada barra: \,20\text{ mm}.
  • Tensão normal média máxima admitida em cada barra: \,150\\ \text{MPa}.
  • Pede: determinar a força máxima \mathbf{P} que pode ser aplicada no nó C sem que a tensão média em qualquer barra exceda \,150\\ \text{MPa}.
Informação ausente e necessária para resolver numericamente: a figura com a geometria do conjunto (número de barras ligadas ao nó C, as direções/ângulos de cada barra em relação a \mathbf{P} e entre si, e a direção da força \mathbf{P}). Sem esses dados geométricos não é possível relacionar univocamente as forças axiais nas barras com \mathbf{P}. Portanto, não há informação suficiente para calcular numericamente \mathbf{P}_{\max}.

Passo 2

Mesmo sem a figura, podemos calcular a força axial máxima admissível em cada barra a partir da tensão admissível e da área da seção transversal — esse é um passo direto e útil.
A área da seção transversal circular de diâmetro \,20\text{ mm} é dada por:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d=20\text{ mm} temos
A = \frac{\pi (20)^2}{4} = 100\pi\\ \text{mm}^2.
Explicação didática do que fiz: a área de um círculo é \pi r^2; como r=d/2, isso dá \pi(d/2)^2=\pi d^2/4. Mantemos unidades em \text{mm}^2 porque 1 MPa = 1 N/mm ^2, o que facilita o cálculo direto da força em N.
A força axial máxima admissível em cada barra é a tensão admissível multiplicada pela área:
F_{\text{allow}} = \sigma_{\text{allow}} \, A.
Substituindo \sigma_{\text{allow}}=150\\ \text{MPa}=150\\ \text{N/mm}^2 e A=100\pi\\ \text{mm}^2:
F_{\text{allow}} = 150\cdot100\pi\\ \mathrm{N} = 15000\pi\\ \mathrm{N}\approx 47,124\\ \mathrm{N}.
Interpretação: cada barra não pode carregar, em tração ou compressão axial, mais do que aproximadamente 47{,}124\\ \mathrm{N} sem violar o limite de tensão média.

Passo 3

Agora eu te ensino o método geral que usaríamos para obter \mathbf{P}_{\max} se a figura e os ângulos fossem fornecidos. Isso é o essencial que cairá na prova: montar as equações de equilíbrio no nó e relacionar forças axiais nas barras com \mathbf{P}.
  1. Modelo do nó: suponha que o nó C esteja em equilíbrio estático. As barras só transmitem força axial (tensão normal), então a soma vetorial das forças axiais nas barras mais a força externa \mathbf{P} deve ser zero:
\sum \mathbf{F}_i + \mathbf{P} = \mathbf{0},
onde \mathbf{F}_i é a força axial (com sinal: positiva em tração, negativa em compressão) na barra i.
  1. Componentes: escrevemos as componentes em x e y (e z se for 3D):
\sum F_i \cos\theta_{i,x} + P_x = 0,\qquad \sum F_i \cos\theta_{i,y} + P_y = 0.
Aqui \cos\theta_{i,x} e \cos\theta_{i,y} são as direções coseno das barras (componentes unitárias).
  1. Resolver para as F_i: isso geralmente dá um sistema linear do tipo
U\,\mathbf{F} = -\mathbf{P},
onde U é a matriz cujas colunas são os vetores unitários na direção das barras (componentes em x,y), \mathbf{F} o vetor das forças axiais desconhecidas e \mathbf{P} o vetor da força aplicada. Se as barras formarem um sistema estaticamente determinado, podemos resolver esse sistema para expressar cada F_i em função de \mathbf{P}.
  1. Condição de segurança: para cada barra i exigimos
|F_i(\mathbf{P})| \le F_{\text{allow}}.
Isto fornece um conjunto de desigualdades que limitam \mathbf{P}. Para um único \mathbf{P} de magnitude escalar P numa direção conhecida, cada F_i costuma ser proporcional a P: F_i = k_i P, onde k_i depende só da geometria (ângulos). Então a condição vira
|k_i|\,P \le F_{\text{allow}}\quad\Rightarrow\quad P \le \frac{F_{\text{allow}}}{|k_i|}.
A força máxima admissível é então a menor dessas cotações:
P_{\max} = \min_i \frac{F_{\text{allow}}}{|k_i|}.
Resumo didático: primeiro calcula-se F_{\text{allow}} a partir de \sigma_{\text{allow}} e da área; depois escreve-se equilíbrio no nó para achar as relações F_i(\mathbf{P}); por fim escolhe-se a menor das cotas que aparecem ao impor |F_i|\le F_{\text{allow}}.

Passo 4

Para te deixar confiante na aplicação prática, vou mostrar um exemplo hipotético (ATENÇÃO: este exemplo é ilustrativo e NÃO resolve o seu exercício original porque estou inventando a geometria para ensinar o método).
Exemplo hipotético: suponha que haja apenas duas barras, simétricas em relação à vertical, cada uma fazendo um ângulo \theta=30^\circ com a vertical, e a força \mathbf{P} age verticalmente para baixo. Pelo equilíbrio vertical:
2F\cos\theta = P,
onde F é a força axial em cada barra (assumimos simetria, então ambas têm a mesma força em módulo). Daí
F = \frac{P}{2\cos\theta}.
Impondo F \le F_{\text{allow}}, obtemos
\frac{P}{2\cos\theta} \le F_{\text{allow}} \quad\Rightarrow\quad P \le 2 F_{\text{allow}} \cos\theta.
Substituindo F_{\text{allow}}=15000\pi\\ \mathrm{N} (do Passo 2) e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660:
P_{\max} = 2\cdot15000\pi\cdot\cos30^\circ \approx 2\cdot15000\pi\cdot0{,}8660 \approx 8,1598\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
Portanto, neste caso hipotético teríamos P_{\max}\approx 81{,}598\\ \text{kN}. Repare como os passos seguiram o algoritmo geral: (1) achar F_{\text{allow}}, (2) escrever equilíbrio, (3) isolar P, (4) aplicar condição |F|\le F_{\text{allow}}.

Passo 5

O que você deve fazer quando tiver a figura real em mãos durante a prova (passo a passo, como um checklist):
  1. Identifique todas as barras conectadas ao nó C e marque os ângulos (ou componentes dos vetores unitários) de cada barra.
  2. Calcule A da seção de cada barra e depois F_{\text{allow}}=\sigma_{\text{allow}}\,A (feito no Passo 2).
  3. Escreva as equações de equilíbrio vetorial no nó ( \sum \mathbf{F}=0) e expresse cada força axial F_i em função da magnitude escalar P (ou das componentes P_x,P_y se for mais prático).
  4. Imponha |F_i|\le F_{\text{allow}} para cada i e obtenha as desigualdades em P.
  5. A resposta numérica é P_{\max}=\min_i das cotas obtidas. Lembre-se de checar sinais e se alguma barra pode trabalhar só em tração ou só em compressão (isso altera a interpretação de F_{\text{allow}} se a peça não puder resistir ao tipo de carga).
Força pra frente — você consegue seguir esses passos rapidinho na prova assim que tiver a figura.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P_{\max} porque a figura (número de barras ligadas ao nó C e os ângulos/direções das barras) não foi fornecida; esses dados geométricos são necessários para relacionar as forças axiais nas barras com \mathbf{P}.
Força axial máxima admissível por barra: F_{\text{allow}}=15000\pi\\ \mathrm{N}\approx 47,124\\ \mathrm{N}.

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