If the average normal stress in each of the
-diameter bars is not allowed to exceed 150 MPa , determine the maximum force
that can be applied to joint
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Diâmetro de cada barra:
. - Tensão normal média máxima admitida em cada barra:
. - Pede: determinar a força máxima
que pode ser aplicada no nó sem que a tensão média em qualquer barra exceda .
Informação ausente e necessária para resolver numericamente: a figura com a geometria do conjunto (número de barras ligadas ao nó
, as direções/ângulos de cada barra em relação a
e entre si, e a direção da força
). Sem esses dados geométricos não é possível relacionar univocamente as forças axiais nas barras com
. Portanto, não há informação suficiente para calcular numericamente
.
Passo 2
Mesmo sem a figura, podemos calcular a força axial máxima admissível em cada barra a partir da tensão admissível e da área da seção transversal — esse é um passo direto e útil.
A área da seção transversal circular de diâmetro
é dada por:
Substituindo
temos
Explicação didática do que fiz: a área de um círculo é
; como
, isso dá
. Mantemos unidades em
porque 1 MPa = 1 N/mm
, o que facilita o cálculo direto da força em N.
A força axial máxima admissível em cada barra é a tensão admissível multiplicada pela área:
Substituindo
e
:
Interpretação: cada barra não pode carregar, em tração ou compressão axial, mais do que aproximadamente
sem violar o limite de tensão média.
Passo 3
Agora eu te ensino o método geral que usaríamos para obter
se a figura e os ângulos fossem fornecidos. Isso é o essencial que cairá na prova: montar as equações de equilíbrio no nó e relacionar forças axiais nas barras com
.
- Modelo do nó: suponha que o nó
esteja em equilíbrio estático. As barras só transmitem força axial (tensão normal), então a soma vetorial das forças axiais nas barras mais a força externa deve ser zero:
onde
é a força axial (com sinal: positiva em tração, negativa em compressão) na barra
.
- Componentes: escrevemos as componentes em
e (e se for 3D):
Aqui
e
são as direções coseno das barras (componentes unitárias).
- Resolver para as
: isso geralmente dá um sistema linear do tipo
onde
é a matriz cujas colunas são os vetores unitários na direção das barras (componentes em
),
o vetor das forças axiais desconhecidas e
o vetor da força aplicada. Se as barras formarem um sistema estaticamente determinado, podemos resolver esse sistema para expressar cada
em função de
.
- Condição de segurança: para cada barra
exigimos
Isto fornece um conjunto de desigualdades que limitam
. Para um único
de magnitude escalar
numa direção conhecida, cada
costuma ser proporcional a
:
, onde
depende só da geometria (ângulos). Então a condição vira
A força máxima admissível é então a menor dessas cotações:
Resumo didático: primeiro calcula-se
a partir de
e da área; depois escreve-se equilíbrio no nó para achar as relações
; por fim escolhe-se a menor das cotas que aparecem ao impor
.
Passo 4
Para te deixar confiante na aplicação prática, vou mostrar um exemplo hipotético (ATENÇÃO: este exemplo é ilustrativo e NÃO resolve o seu exercício original porque estou inventando a geometria para ensinar o método).
Exemplo hipotético: suponha que haja apenas duas barras, simétricas em relação à vertical, cada uma fazendo um ângulo
com a vertical, e a força
age verticalmente para baixo. Pelo equilíbrio vertical:
onde
é a força axial em cada barra (assumimos simetria, então ambas têm a mesma força em módulo). Daí
Impondo
, obtemos
Substituindo
(do Passo 2) e
:
Portanto, neste caso hipotético teríamos
. Repare como os passos seguiram o algoritmo geral: (1) achar
, (2) escrever equilíbrio, (3) isolar
, (4) aplicar condição
.
Passo 5
O que você deve fazer quando tiver a figura real em mãos durante a prova (passo a passo, como um checklist):
- Identifique todas as barras conectadas ao nó
e marque os ângulos (ou componentes dos vetores unitários) de cada barra. - Calcule
da seção de cada barra e depois (feito no Passo 2). - Escreva as equações de equilíbrio vetorial no nó (
) e expresse cada força axial em função da magnitude escalar (ou das componentes se for mais prático). - Imponha
para cada e obtenha as desigualdades em . - A resposta numérica é
das cotas obtidas. Lembre-se de checar sinais e se alguma barra pode trabalhar só em tração ou só em compressão (isso altera a interpretação de se a peça não puder resistir ao tipo de carga).
Força pra frente — você consegue seguir esses passos rapidinho na prova assim que tiver a figura.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a figura (número de barras ligadas ao nó
e os ângulos/direções das barras) não foi fornecida; esses dados geométricos são necessários para relacionar as forças axiais nas barras com
.
Força axial máxima admissível por barra: