• Determine the t-percentile that is required to construct each of the following two-sided confidence intervals:
15.2 & 14.2 & 14.0 & 12.2 & 14.4 & 12.5 \
14.3 & 14.2 & 13.5 & 11.8 & 15.2 &
Assume that the standard deviation is known to be \sigma=0.5.
(a) Construct a 99 \% two-sided confidence interval on the mean temperature.
(b) Construct a 95 \% lower-confidence bound on the mean temperature.
(c) Suppose that you wanted to be 95 \% confident that the error in estimating the mean temperature is less than 2 degrees Celsius. What sample size should be used?
(d) Suppose that you wanted the total width of the two-sided confidence interval on mean temperature to be 1.5 degrees Celsius at 95 \% confidence. What sample size should be used?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de temperaturas (valores retirados do enunciado) e pede vários intervalos e tamanhos de amostra. Os dados fornecidos são:
15,2,\;14,2,\;14,0,\;12,2,\;14,4,\;12,5,\;14,3,\;14,2,\;13,5,\;11,8,\;15,2
Informações importantes e pedidos:
  • Desvio padrão conhecido: \sigma=0,5.
  • Número de observações: n=? (vai ser calculado a partir da lista).
    Perguntas:
    (a) Construir um intervalo de confiança bicaudal de 99\% para a média.
    (b) Construir um limite inferior de confiança de 95\% para a média (isto é, um bound inferior unilateral).
    (c) Qual tamanho de amostra é necessário para ter 95\% de confiança de que o erro na estimativa da média seja menor que 2 graus (erro = margem de erro)?
    (d) Qual tamanho de amostra para que a largura total do intervalo bicaudal a 95\% seja 1,5 graus?

Passo 2

Contagem e média amostral. Primeiro conto quantas observações há e calculo a média passo a passo:
Soma dos valores (peguei os dados do enunciado): 15,2+14,2+14,0+12,2+14,4+12,5+14,3+14,2+13,5+11,8+15,2=151,5.
Número de observações:
n=11.
Média amostral:
\bar{x}=\frac{151,5}{11}=13,7727\\ (\text{aprox.})
Explicação curta: a média \bar{x} é a soma dos dados dividida por n. Usei todos os 11 valores do enunciado.

Passo 3

(a) Intervalo de confiança bicaudal de 99\% com \sigma conhecido.
Fórmula (quando \sigma é conhecido): o intervalo bicaudal de nível 1-\alpha para a média é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui \bar{x} é a média amostral, \sigma é o desvio padrão populacional conhecido, n é o tamanho da amostra, e z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que P(|Z|>z_{\alpha/2})=\alpha. Para 99\% temos \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
Valor crítico:
z_{0,005}\approx 2,5758.
Agora calculo a margem de erro passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{11}\approx 3,3166.
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,5}{3,3166}\approx 0,1508.
\text{margem}=z_{0,005}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 2,5758\times 0,1508\approx 0,3882.
Portanto o intervalo é
\bar{x}\pm\text{margem} \Rightarrow 13,7727\pm 0,3882.
Cálculo dos extremos:
\text{limite inferior}=13,7727-0,3882\approx 13,3845,
\text{limite superior}=13,7727+0,3882\approx 14,1609.
Interpretação rápida: com 99% de confiança a média populacional está entre \;13,3845 e \;14,1609.

Passo 4

(b) Limite inferior unilateral de 95\%.
Fórmula para limite inferior unilateral (um lado) com \sigma conhecido: para nível 1-\alpha o bound inferior é
L=\bar{x}-z_{\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde agora usamos z_{\alpha} tal que P(Z>z_{\alpha})=\alpha (porque é um limite unilateral). Para 95\% unilateral desejamos que a probabilidade de o verdadeiro valor ser abaixo de L seja \alpha=0,05, então usamos z_{0,05}.
Valor crítico:
z_{0,05}\approx 1,6449.
Já calculamos \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 0,1508. Então a margem unilateral é
1,6449\times 0,1508\approx 0,2480.
Portanto o limite inferior é
L=13,7727-0,2480\approx 13,5247.
Interpretação: com 95\% de confiança a média é ao menos 13,5247.

Passo 5

(c) Tamanho de amostra para que o erro na estimativa da média seja menor que 2 com 95\% de confiança.
Explicação: “erro” aqui significa metade da largura do intervalo (margem de erro) E. Para um intervalo bicaudal de 95\% usamos z_{0,025}=1,96. A relação é
E=z_{0,025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos E\le 2. Isolando n:
n=\left(\frac{z_{0,025}\,\sigma}{E}\right)^2.
Substituo z_{0,025}=1,96, \sigma=0,5, E=2:
n=\left(\frac{1,96\times 0,5}{2}\right)^2=\left(\frac{0,98}{2}\right)^2=(0,49)^2=0,2401.
Tamanho de amostra tem que ser inteiro e, para garantir a precisão pedida, devemos arredondar para cima (ceil). Assim:
n=\lceil 0,2401\rceil =1.
Interpretação: um único dado é suficiente para garantir que a margem de erro seja menor que 2 dado o pequeno \sigma=0,5.

Passo 6

(d) Tamanho de amostra para que a largura total do intervalo bicaudal de 95\% seja 1,5.
Relação entre largura total e margem: largura total =2E. Queremos largura =1,5\Rightarrow E=0,75.
Usamos novamente z_{0,025}=1,96 e fórmula
n=\left(\frac{z_{0,025}\,\sigma}{E}\right)^2=\left(\frac{1,96\times 0,5}{0,75}\right)^2.
Calculo:
\frac{1,96\times 0,5}{0,75}=\frac{0,98}{0,75}\approx 1,3067,
n\approx (1,3067)^2\approx 1,7074.
Arredondando para cima:
n=\lceil 1,7074\rceil =2.
Interpretação: com n=2 observações a largura total do intervalo de 95\% ficará no máximo 1,5 graus (dado \sigma=0,5).

Resposta

(a) [13,3845,\;14,1609]
(b) 13,5247 (limite inferior de 95\%)
(c) n=1
(d) n=2

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