- Determine the
-percentile that is required to construct each of the following two-sided confidence intervals:
15.2 & 14.2 & 14.0 & 12.2 & 14.4 & 12.5 \
14.3 & 14.2 & 13.5 & 11.8 & 15.2 &
Assume that the standard deviation is known to be
.
(a) Construct a
two-sided confidence interval on the mean temperature.
(b) Construct a
lower-confidence bound on the mean temperature.
(c) Suppose that you wanted to be
confident that the error in estimating the mean temperature is less than 2 degrees Celsius. What sample size should be used?
(d) Suppose that you wanted the total width of the two-sided confidence interval on mean temperature to be 1.5 degrees Celsius at
confidence. What sample size should be used?
14.3 & 14.2 & 13.5 & 11.8 & 15.2 &
(a) Construct a
(b) Construct a
(c) Suppose that you wanted to be
(d) Suppose that you wanted the total width of the two-sided confidence interval on mean temperature to be 1.5 degrees Celsius at
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de temperaturas (valores retirados do enunciado) e pede vários intervalos e tamanhos de amostra. Os dados fornecidos são:
Informações importantes e pedidos:
- Desvio padrão conhecido:
. - Número de observações:
(vai ser calculado a partir da lista).
Perguntas:
(a) Construir um intervalo de confiança bicaudal depara a média.
(b) Construir um limite inferior de confiança depara a média (isto é, um bound inferior unilateral).
(c) Qual tamanho de amostra é necessário para terde confiança de que o erro na estimativa da média seja menor que graus (erro = margem de erro)?
(d) Qual tamanho de amostra para que a largura total do intervalo bicaudal aseja graus?
Passo 2
Contagem e média amostral. Primeiro conto quantas observações há e calculo a média passo a passo:
Soma dos valores (peguei os dados do enunciado): .
Número de observações:
Soma dos valores (peguei os dados do enunciado):
Número de observações:
Média amostral:
Explicação curta: a média
é a soma dos dados dividida por
. Usei todos os 11 valores do enunciado.
Passo 3
(a) Intervalo de confiança bicaudal de
com
conhecido.
Fórmula (quando
é conhecido): o intervalo bicaudal de nível
para a média é
Aqui
é a média amostral,
é o desvio padrão populacional conhecido,
é o tamanho da amostra, e
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que
. Para
temos
e
.
Valor crítico:
Agora calculo a margem de erro passo a passo:
Portanto o intervalo é
Cálculo dos extremos:
Interpretação rápida: com 99% de confiança a média populacional está entre
e
.
Passo 4
(b) Limite inferior unilateral de
.
Fórmula para limite inferior unilateral (um lado) com
conhecido: para nível
o bound inferior é
onde agora usamos
tal que
(porque é um limite unilateral). Para
unilateral desejamos que a probabilidade de o verdadeiro valor ser abaixo de
seja
, então usamos
.
Valor crítico:
Já calculamos
. Então a margem unilateral é
Portanto o limite inferior é
Interpretação: com
de confiança a média é ao menos
.
Passo 5
(c) Tamanho de amostra para que o erro na estimativa da média seja menor que
com
de confiança.
Explicação: “erro” aqui significa metade da largura do intervalo (margem de erro)
. Para um intervalo bicaudal de
usamos
. A relação é
Queremos
. Isolando
:
Substituo
,
,
:
Tamanho de amostra tem que ser inteiro e, para garantir a precisão pedida, devemos arredondar para cima (ceil). Assim:
Interpretação: um único dado é suficiente para garantir que a margem de erro seja menor que
dado o pequeno
.
Passo 6
(d) Tamanho de amostra para que a largura total do intervalo bicaudal de
seja
.
Relação entre largura total e margem: largura total
. Queremos largura
.
Usamos novamente e fórmula
Usamos novamente
Calculo:
Arredondando para cima:
Interpretação: com
observações a largura total do intervalo de
ficará no máximo
graus (dado
).
Resposta
(a)
(b) (limite inferior de
)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)