Suppose that n=100 random samples of water from a freshwater lake were taken and the calcium concentration (milligrams per liter) measured. A 95% CI on the mean calcium concentration is 0.49 \leq \mu \leq 0.82.
(a) Would a 99 \% CI calculated from the same sample data be longer or shorter?
(b) Consider the following statement: There is a 95 \% chance that \mu is between 0.49 and 0.82 . Is this statement correct? Explain your answer.
(c) Consider the following statement: If n=100 random samples of water from the lake were taken and the 95 \% \mathrm{CI} on \mu computed, and this process were repeated 1000 times, 950 of the CIs would contain the true value of \mu. Is this statement correct? Explain your answer.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Foi tirada uma amostra aleatória com tamanho n=100.
  • Um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu é \;0,49 \le \mu \le 0,82\;.
  • Perguntas:
    (a) Um intervalo de confiança de 99\% calculado com os mesmos dados seria mais longo ou mais curto?
    (b) A frase "Há 95\% de chance de que \mu esteja entre 0,49 e 0,82" está correta? Explique.
    (c) A frase "Se repetirmos o processo 1000 vezes, 950 dos ICs de 95\% conteriam o verdadeiro \mu" está correta? Explique.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida e prática).
  • O intervalo de confiança para a média, quando usamos a aproximação normal (ou t quando necessário), tem a forma
\bar{X} \pm \text{(valor crítico)}\times\frac{s}{\sqrt{n}},í
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (valor central do intervalo),
  • s é o desvio-padrão amostral (estimativa da variabilidade das observações),
  • n é o tamanho da amostra,
  • \text{(valor crítico)}í é z_{\alpha/2} (se usarmos normal) ou t_{\alpha/2,n-1} (se usarmos t). Para um nível de confiança 1-\alpha, \alpha/2 é a cauda superior.
  • A metade do comprimento do intervalo (margin of error, ME) é
\text{ME} = \text{(valor crítico)}\times\frac{s}{\sqrt{n}}.í
Logo, o comprimento total do intervalo é 2\cdot\text{ME}. Assim, para um mesmo \bar{X}, s e n, o único fator que muda com o nível de confiança é o valor crítico.

Passo 3

Aplicando isso ao item (a) — razão prática e numérica por que o 99\% CI é mais longo.
  • Para 95\% de confiança o valor crítico normal é aproximadamente z_{0,975}=1,96.
  • Para 99\% de confiança o valor crítico normal é aproximadamente z_{0,995}=2,576.
  • Como \text{ME} é proporcional ao valor crítico, passar de 1,96 para 2,576 aumenta a ME. A razão é
\frac{2,576}{1,96}\approx 1,315,
ou seja, a ME (e portanto o comprimento do intervalo) fica cerca de 31{,}5\% maior.
  • Conclusão prática: com os mesmos dados, um intervalo de 99\% será mais longo (mais amplo) do que o de 95\%. Intuição: para ficar mais confiante precisamos “abranger” mais valores, então alargamos o intervalo.

Passo 4

Explicação didática para o item (b) — interpretação frequencista correta.
  • Depois de coletar os dados e calcular o intervalo [0,49,\,0,82], esse intervalo já é fixo; a verdadeira média \mu é um valor fixo e desconhecido (não aleatório).
  • A frase "Há 95\% de chance que \mu esteja entre 0,49 e 0,82" sugere uma probabilidade sobre \mu condicional ao intervalo já observado. No contexto clássico de intervalos de confiança (frequentista) isso está incorreto: ou \mu está dentro do intervalo (caso verdadeiro) ou não está — não faz sentido atribuir uma probabilidade 95\% a essa afirmação depois que os dados foram vistos.
  • A formulação correta, em linguagem frequencista, é: “Se repetíssemos o procedimento de amostragem e construção do intervalo muitas vezes, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro \mu.” Ou, de forma curta, “Estamos 95\% confiantes no procedimento”, não no evento específico posterior à amostra.
  • Observação: em estatística bayesiana, com uma distribuição a priori apropriada, um intervalo credível pode ser interpretado como “há 95\% de probabilidade (condicional aos dados e à priori) de que \mu esteja no intervalo”. Mas isso é outro quadro (bayesiano), diferente do enunciado padrão de ICs.

Passo 5

Explicação e nuance para o item (c) — validade da afirmação sobre repetir 1000 vezes.
  • A frase dada: “Se n=100 random samples … e o 95\% CI fosse computado e esse processo repetido 1000 vezes, 950 dos CIs conteriam o verdadeiro \mu.” — isso expressa a ideia de cobertura de longo prazo e é a interpretação correta do nível de confiança no sentido frequencista, com uma nuance:
    • Em expectativa, sim: o número esperado de intervalos (em 1000 repetições independentes) que conterão \mu é 1000\times 0,95 = 950.
    • Porém não é uma certeza absoluta que exatamente 950 conterão \mu; o número real observado é aleatório. Se modelarmos cada repetição como um sucesso (o intervalo contém \mu) com probabilidade 0,95 independente, o número de sucessos tem média 950 e variância 1000\times 0,95\times 0,05 = 47{,}5, ou desvio-padrão aproximadamente \sqrt{47{,}5}\approx 6{,}9. Isso significa que obter, por exemplo, 943 ou 957 estaria dentro da variabilidade esperada.
  • Conclusão prática: a afirmação está conceitualmente correta como enunciado do comportamento a longo prazo do procedimento, mas deveria ser dita com palavras como "aproximadamente 950" ou "em média 950" em vez de garantir exatamente 950. Também assume que em cada repetição as condições (amostragem aleatória, método correto de construção do IC) se mantêm.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido e motivador:
  • Para aumentar o nível de confiança (de 95\% para 99\%) precisamos de um intervalo maior — por isso (a) é “mais longo”.
  • A interpretação probabilística direta do intervalo após observar os dados (b) é incorreta no quadro frequentista: a probabilidade de que \mu esteja no intervalo já observado não é 95\%.
  • A ideia de cobertura a longo prazo (c) é o que justifica o número 95\%: repetindo o procedimento muitas vezes, em média 95\% dos intervalos conterão \mu — então esperar ~ 950 em 1000 repetições é razoável, mas não garantido com exatidão.

Resposta

(a) Um 99\% CI seria mais longo (mais amplo).
(b) Não — a frase está incorreta no quadro frequentista; depois de observar os dados não faz sentido dizer que há 95\% de chance de que \mu esteja naquele intervalo.
(c) Essencialmente correta: em média 1000\times 0,95=950 dos intervalos conteriam \mu, mas não é garantido que exatamente 950 o façam (há variabilidade, desvio-padrão aproximado \sqrt{1000\cdot0,95\cdot0,05}\approx6{,}9).

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