Suppose that
random samples of water from a freshwater lake were taken and the calcium concentration (milligrams per liter) measured. A 95% CI on the mean calcium concentration is
.
(a) Would a
CI calculated from the same sample data be longer or shorter?
(b) Consider the following statement: There is a
chance that
is between 0.49 and 0.82 . Is this statement correct? Explain your answer.
(c) Consider the following statement: If
random samples of water from the lake were taken and the
on
computed, and this process were repeated 1000 times, 950 of the CIs would contain the true value of
. Is this statement correct? Explain your answer.
(a) Would a
(b) Consider the following statement: There is a
(c) Consider the following statement: If
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Foi tirada uma amostra aleatória com tamanho
. - Um intervalo de confiança de
para a média é . - Perguntas:
(a) Um intervalo de confiança decalculado com os mesmos dados seria mais longo ou mais curto?
(b) A frase "Háde chance de que esteja entre e " está correta? Explique.
(c) A frase "Se repetirmos o processo 1000 vezes, 950 dos ICs deconteriam o verdadeiro " está correta? Explique.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida e prática).
- O intervalo de confiança para a média, quando usamos a aproximação normal (ou t quando necessário), tem a forma
onde:
-
é a média amostral (valor central do intervalo), -
é o desvio-padrão amostral (estimativa da variabilidade das observações), -
é o tamanho da amostra, -
é (se usarmos normal) ou (se usarmos t). Para um nível de confiança , é a cauda superior. - A metade do comprimento do intervalo (margin of error, ME) é
Logo, o comprimento total do intervalo é
. Assim, para um mesmo
,
e
, o único fator que muda com o nível de confiança é o valor crítico.
Passo 3
Aplicando isso ao item (a) — razão prática e numérica por que o
CI é mais longo.
- Para
de confiança o valor crítico normal é aproximadamente . - Para
de confiança o valor crítico normal é aproximadamente . - Como
é proporcional ao valor crítico, passar de para aumenta a ME. A razão é
ou seja, a ME (e portanto o comprimento do intervalo) fica cerca de
maior.
- Conclusão prática: com os mesmos dados, um intervalo de
será mais longo (mais amplo) do que o de . Intuição: para ficar mais confiante precisamos “abranger” mais valores, então alargamos o intervalo.
Passo 4
Explicação didática para o item (b) — interpretação frequencista correta.
- Depois de coletar os dados e calcular o intervalo
, esse intervalo já é fixo; a verdadeira média é um valor fixo e desconhecido (não aleatório). - A frase "Há
de chance que esteja entre e " sugere uma probabilidade sobre condicional ao intervalo já observado. No contexto clássico de intervalos de confiança (frequentista) isso está incorreto: ou está dentro do intervalo (caso verdadeiro) ou não está — não faz sentido atribuir uma probabilidade a essa afirmação depois que os dados foram vistos. - A formulação correta, em linguagem frequencista, é: “Se repetíssemos o procedimento de amostragem e construção do intervalo muitas vezes, aproximadamente
desses intervalos conteriam o verdadeiro .” Ou, de forma curta, “Estamos confiantes no procedimento”, não no evento específico posterior à amostra. - Observação: em estatística bayesiana, com uma distribuição a priori apropriada, um intervalo credível pode ser interpretado como “há
de probabilidade (condicional aos dados e à priori) de que esteja no intervalo”. Mas isso é outro quadro (bayesiano), diferente do enunciado padrão de ICs.
Passo 5
Explicação e nuance para o item (c) — validade da afirmação sobre repetir 1000 vezes.
- A frase dada: “Se
random samples … e o CI fosse computado e esse processo repetido 1000 vezes, 950 dos CIs conteriam o verdadeiro .” — isso expressa a ideia de cobertura de longo prazo e é a interpretação correta do nível de confiança no sentido frequencista, com uma nuance: - Em expectativa, sim: o número esperado de intervalos (em 1000 repetições independentes) que conterão
é . - Porém não é uma certeza absoluta que exatamente
conterão ; o número real observado é aleatório. Se modelarmos cada repetição como um sucesso (o intervalo contém ) com probabilidade independente, o número de sucessos tem média e variância , ou desvio-padrão aproximadamente . Isso significa que obter, por exemplo, ou estaria dentro da variabilidade esperada.
- Em expectativa, sim: o número esperado de intervalos (em 1000 repetições independentes) que conterão
- Conclusão prática: a afirmação está conceitualmente correta como enunciado do comportamento a longo prazo do procedimento, mas deveria ser dita com palavras como "aproximadamente
" ou "em média " em vez de garantir exatamente . Também assume que em cada repetição as condições (amostragem aleatória, método correto de construção do IC) se mantêm.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido e motivador:
- Para aumentar o nível de confiança (de
para ) precisamos de um intervalo maior — por isso (a) é “mais longo”. - A interpretação probabilística direta do intervalo após observar os dados (b) é incorreta no quadro frequentista: a probabilidade de que
esteja no intervalo já observado não é . - A ideia de cobertura a longo prazo (c) é o que justifica o número
: repetindo o procedimento muitas vezes, em média dos intervalos conterão — então esperar ~ em repetições é razoável, mas não garantido com exatidão.
Resposta
(a) Um
CI seria mais longo (mais amplo).
(b) Não — a frase está incorreta no quadro frequentista; depois de observar os dados não faz sentido dizer que há de chance de que
esteja naquele intervalo.
(c) Essencialmente correta: em média dos intervalos conteriam
, mas não é garantido que exatamente
o façam (há variabilidade, desvio-padrão aproximado
).
(b) Não — a frase está incorreta no quadro frequentista; depois de observar os dados não faz sentido dizer que há
(c) Essencialmente correta: em média