Determine the resultant internal normal force, shear force, and bending moment at point
in the beam.
Passo 1
O enunciado pede os esforços internos no ponto
: a força normal
, a força cortante
e o momento fletor
naquele plano de corte.
Dados que eu peguei da imagem: comprimento total da viga (segmentos
), posição dos pontos medida a partir da extremidade esquerda: apoio
em
, ponto
em
, apoio
em
, carga concentrada
para baixo na extremidade direita (
) e um momento concentrado
aplicado na extremidade esquerda (
) no sentido indicado pela figura. Não há cargas horizontais visíveis.
O que precisamos achar: . A resolução começa determinando as reações nos apoios para depois cortar a viga em
e aplicar equilíbrio ao trecho escolhido.
Dados que eu peguei da imagem: comprimento total da viga
O que precisamos achar:
Passo 2
Primeiro passo útil: calcular as reações verticais em
e
. Chamo-as de
e
. Como não há forças horizontais, a força normal será zero (vou justificar com calma mais à frente). Usei as equações da estática para a viga inteira:
Equilíbrio de forças verticais:
Equilíbrio de momentos (faço momento em relação ao ponto
; tomo momento positivo no sentido anti-horário). Lembre que o momento concentrado de
é um par livre e aparece diretamente na soma de momentos (independente do ponto de referência). A carga de
aplicada na extremidade direita está a
à direita de
(pois
). A reação
está a
à direita de
. Assim, somando momentos em
:
Agora resolvo essa equação para
:
O sinal negativo indica que a reação em
é para baixo (oposta à direção que eu havia assumido inicialmente, que foi “para cima”). Agora obtenho
pela soma vertical:
Interpretação física rápida: o par de
gera a necessidade de uma reação descendente em
para equilibrar momentos, por isso
ficou negativa. Nada de estranho: apoios podem fornecer reação para cima ou para baixo dependendo do equilíbrio.
Passo 3
Força normal em
,
.
Definição e raciocínio: força normal é a componente axial (horizontal) no plano de corte. Na figura não há forças horizontais aplicadas nem apoios que resistam horizontalmente, portanto não há razão para existir tensão axial resultante. Assim
(Se houvesse uma força horizontal aplicada, faríamos equilíbrio horizontal para obter
.)
Passo 4
Força cortante em
,
.
Método: corto a viga imediatamente à esquerda de
e faço equilíbrio do trecho esquerdo (do lado esquerdo do corte). Escolhi o trecho esquerdo porque nele aparecem o momento de
e a reação
, e não aparecem a carga de
nem
(estas ficam no trecho direito). Isso simplifica.
No trecho esquerdo as forças verticais externas são apenas
para cima. No corte aparece a força cortante interna
(que eu considero positiva quando apontando para cima no lado esquerdo do corte). Equilíbrio vertical do trecho esquerdo:
Conclusão: a força cortante em
é
apontando para cima (no lado esquerdo do corte). Se alguém preferir o sinal oposto segundo outra convenção, seria
com outra definição de positivo; aqui adotei “positivo = para cima”.
Passo 5
Momento fletor em
,
.
Método: ainda trabalhando com o trecho esquerdo (do lado esquerdo do corte), aplico equilíbrio de momentos em relação ao corte. Vou tomar momentos positivos no sentido anti-horário (CCW). Lembre: o momento concentrado
aplicado na extremidade esquerda é CCW e entra diretamente na soma. A reação
está a
à esquerda de
(pois
está em
e
em
), e uma força para cima a
à esquerda do corte produz um momento que tende a girar o trecho esquerdo no sentido CCW (positiva), de magnitude
. Não há outras forças no trecho esquerdo.
Equilíbrio de momentos em relação ao corte (momento interno
que resiste aos momentos externos):
ou, de forma explícita,
Substituindo
:
Orientação: este resultado
é no sentido CCW (positiva na convenção adotada). Em termos de efeito na viga, é um momento de flexão que tende a provocar curvatura “positiva” (se adotarmos a convenção usual de que momento positivo produz flecha para cima no trecho).
Passo 6
Verificação (checagem rápida pela porção direita): como checagem alternativa, cortar a viga imediatamente à direita de
e equilibrar o trecho direito também dá
(aparecem
a
e a carga
a
que, somadas com sinal, confirmam o mesmo valor). Essa verificação confirma consistência dos sinais e cálculos.