Determine the resultant internal normal force, shear force, and bending moment at point C in the beam.

Passo 1

O enunciado pede os esforços internos no ponto C: a força normal N_C, a força cortante V_C e o momento fletor M_C naquele plano de corte.
Dados que eu peguei da imagem: comprimento total da viga 6\\ \text{m} (segmentos 2+1+1+2), posição dos pontos medida a partir da extremidade esquerda: apoio A em x=2\\ \text{m}, ponto C em x=3\\ \text{m}, apoio B em x=4\\ \text{m}, carga concentrada 10\\ \text{kN} para baixo na extremidade direita ( x=6\\ \text{m}) e um momento concentrado 60\\ \text{kN}\cdot\text{m} aplicado na extremidade esquerda ( x=0) no sentido indicado pela figura. Não há cargas horizontais visíveis.
O que precisamos achar: N_C,\\ V_C,\\ M_C. A resolução começa determinando as reações nos apoios para depois cortar a viga em C e aplicar equilíbrio ao trecho escolhido.

Passo 2

Primeiro passo útil: calcular as reações verticais em A e B. Chamo-as de A_y e B_y. Como não há forças horizontais, a força normal será zero (vou justificar com calma mais à frente). Usei as equações da estática para a viga inteira:
Equilíbrio de forças verticais:
A_y + B_y - 10 = 0.
Equilíbrio de momentos (faço momento em relação ao ponto A; tomo momento positivo no sentido anti-horário). Lembre que o momento concentrado de 60\\ \text{kN}\cdot\text{m} é um par livre e aparece diretamente na soma de momentos (independente do ponto de referência). A carga de 10\\ \text{kN} aplicada na extremidade direita está a 4\\ \text{m} à direita de A (pois 6-2=4). A reação B_y está a 2\\ \text{m} à direita de A. Assim, somando momentos em A:
+60\\\ -10\cdot 4\\\ + B_y\cdot 2 \;=\;0.
Agora resolvo essa equação para B_y:
60 - 40 + 2B_y = 0 \quad\Rightarrow\quad 2B_y = -20 \quad\Rightarrow\quad B_y = -10\\ \text{kN}.
O sinal negativo indica que a reação em B é para baixo (oposta à direção que eu havia assumido inicialmente, que foi “para cima”). Agora obtenho A_y pela soma vertical:
A_y + (-10) - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y = 20\\ \text{kN}.
Interpretação física rápida: o par de 60\\ \text{kN}\cdot\text{m} gera a necessidade de uma reação descendente em B para equilibrar momentos, por isso B_y ficou negativa. Nada de estranho: apoios podem fornecer reação para cima ou para baixo dependendo do equilíbrio.

Passo 3

Força normal em C, N_C.
Definição e raciocínio: força normal é a componente axial (horizontal) no plano de corte. Na figura não há forças horizontais aplicadas nem apoios que resistam horizontalmente, portanto não há razão para existir tensão axial resultante. Assim
N_C = 0\\ \text{kN}.
(Se houvesse uma força horizontal aplicada, faríamos equilíbrio horizontal para obter N.)

Passo 4

Força cortante em C, V_C.
Método: corto a viga imediatamente à esquerda de C e faço equilíbrio do trecho esquerdo (do lado esquerdo do corte). Escolhi o trecho esquerdo porque nele aparecem o momento de 60\\ \text{kN}\cdot\text{m} e a reação A_y, e não aparecem a carga de 10\\ \text{kN} nem B_y (estas ficam no trecho direito). Isso simplifica.
No trecho esquerdo as forças verticais externas são apenas A_y=20\\ \text{kN} para cima. No corte aparece a força cortante interna V_C (que eu considero positiva quando apontando para cima no lado esquerdo do corte). Equilíbrio vertical do trecho esquerdo:
A_y - V_C = 0 \quad\Rightarrow\quad V_C = A_y = 20\\ \text{kN}.
Conclusão: a força cortante em C é 20\\ \text{kN} apontando para cima (no lado esquerdo do corte). Se alguém preferir o sinal oposto segundo outra convenção, seria -20\\ \text{kN} com outra definição de positivo; aqui adotei “positivo = para cima”.

Passo 5

Momento fletor em C, M_C.
Método: ainda trabalhando com o trecho esquerdo (do lado esquerdo do corte), aplico equilíbrio de momentos em relação ao corte. Vou tomar momentos positivos no sentido anti-horário (CCW). Lembre: o momento concentrado 60\\ \text{kN}\cdot\text{m} aplicado na extremidade esquerda é CCW e entra diretamente na soma. A reação A_y=20\\ \text{kN} está a 1\\ \text{m} à esquerda de C (pois C está em x=3 e A em x=2), e uma força para cima a 1\\ \text{m} à esquerda do corte produz um momento que tende a girar o trecho esquerdo no sentido CCW (positiva), de magnitude 20\cdot 1. Não há outras forças no trecho esquerdo.
Equilíbrio de momentos em relação ao corte (momento interno M_C que resiste aos momentos externos):
\text{Momentos externos (positivos)} - M_C = 0
ou, de forma explícita,
60 + A_y\cdot 1 - M_C = 0.
Substituindo A_y=20\\ \text{kN}:
60 + 20\cdot 1 - M_C = 0 \quad\Rightarrow\quad M_C = 60 + 20 = 80\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Orientação: este resultado M_C=80\\ \text{kN}\cdot\text{m} é no sentido CCW (positiva na convenção adotada). Em termos de efeito na viga, é um momento de flexão que tende a provocar curvatura “positiva” (se adotarmos a convenção usual de que momento positivo produz flecha para cima no trecho).

Passo 6

Verificação (checagem rápida pela porção direita): como checagem alternativa, cortar a viga imediatamente à direita de C e equilibrar o trecho direito também dá M_C=80\\ \text{kN}\cdot\text{m} (aparecem B_y=-10\\ \text{kN} a 1\\ \text{m} e a carga 10\\ \text{kN} a 3\\ \text{m} que, somadas com sinal, confirmam o mesmo valor). Essa verificação confirma consistência dos sinais e cálculos.

Resposta

N_C = 0\\ \text{kN}
V_C = 20\\ \text{kN} (para cima)
M_C = 80\\ \text{kN}\cdot\text{m} (sentido CCW positivo)

Exercícios relacionados