O elevador
e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg , enquanto o contrapeso
tem massa de 400 kg . Determine a potência liberada pelo motor elétrico
quando o elevador se move com uma velocidade instantânea de
e aceleração de
, ambas orientadas para cima.
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos (identifiquei também um dado na imagem):\n
- O enunciado pede: determinar a potência liberada (fornecida) pelo motor elétrico
no instante dado.\n - Dados fornecidos no enunciado:\n
(massa do elevador com carga),\n
(massa do contrapeso ),\n
(velocidade instantânea do elevador, orientada para cima),\n
(aceleração do elevador, orientada para cima),\n
\n - Dado obtido da imagem (estou tomando este valor diretamente da figura): a mola tem alongamento atual
(veja a indicação “0,5 m” na figura). Declarei isso explicitamente porque a instrução dizia para usar dados da figura quando presentes.\n - Observação de movimento: como o elevador
sobe com velocidade para cima, o contrapeso se move para baixo com a mesma rapidez (movimento ligado por cabo sem deslizamento), portanto a velocidade do contrapeso tem módulo e sentido oposto.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):\n
- Em um sistema ideal (sem perdas por atrito nem inércia rotacional dada), a potência fornecida pelo motor
é igual à taxa de variação da energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional + energia elástica da mola):\n
- Explicando cada termo:\n
-
é a energia cinética total das massas; para uma partícula de massa com velocidade temos . A derivada temporal dá , pois .\n -
é a energia potencial gravitacional; sua taxa de variação para cada massa é (positivo quando a massa sobe, pois potencial aumenta). Aqui tomamos .\n -
é a energia elástica da mola dada por . A taxa de variação é , onde é a velocidade de variação do comprimento da mola.\n
-
- Portanto vamos calcular separadamente:\n
-
(taxa de variação da energia cinética),\n -
(taxa de variação da energia gravitacional),\n -
(taxa de variação da energia da mola),\n
e somar tudo para obter.
-
Passo 3
Cálculo da taxa de variação da energia cinética (aula prática):\n
- Cada massa tem energia cinética
. Derivando no tempo:\n
- Aplico às duas massas (lembre que ambas têm mesma velocidade em módulo e aceleração em módulo; o contrapeso tem velocidade/oposição de sentido, mas o produto
aparece com sinais que tornam-se ambos positivos quando usamos os módulos corretamente na fórmula de variação de energia cinética):\n
- Substituindo números:\n
- Interpretação: a energia cinética total está aumentando a uma taxa de
.
Passo 4
Cálculo da taxa de variação da energia gravitacional (aula prática):\n
- Para uma massa
que se desloca verticalmente com velocidade (positivo para cima), a taxa de variação da energia potencial gravitacional é .\n - Tomemos a velocidade do elevador
como (para cima) e a do contrapeso como (pois ele desce quando o elevador sobe). Assim a variação total é:\n
- Substituindo números (
):\n
- Interpretação: o valor negativo indica que, neste movimento (e neste instante), a energia potencial gravitacional total do sistema está diminuindo à taxa de
— faz sentido porque o contrapeso mais pesado está descendo, liberando mais energia potencial do que a que é ganha pelo elevador mais leve ao subir.
Passo 5
Cálculo da taxa de variação da energia elástica da mola (aula prática sobre mola):\n
- Energia elástica:
. A taxa é\n
onde
é a velocidade do alongamento da mola.\n
- Interpretação do sistema (usei a figura): a mola está ligada ao lado do contrapeso; quando o elevador sobe com velocidade
, o contrapeso desce com velocidade , de modo que a mola se alonga à taxa (a mola está se tornando mais alongada). Assim tomamos . Declarei esse raciocínio porque o sentido do movimento do contrapeso determina se a mola se alonga ou comprime.\n - Portanto:\n
- Substituindo números (
, , ):\n
- Interpretação: a energia elástica da mola está aumentando a uma taxa de
; esse é um termo grande aqui, porque a mola é rígida e já tem alongamento.
Passo 6
Somando todas as contribuições para obter a potência do motor (juntando as aulas):\n
- Usando a fórmula do Passo 2:\n
- Substituindo os valores que calculamos:\n
- Efetuando a soma:\n
- Interpretação física final:
significa que o motor está fornecendo energia ao sistema (ou seja, está entregando essa potência). A maior parte da potência está indo para aumentar a energia elástica da mola; uma pequena parte para aumentar a energia cinética e outra parte é compensação do trabalho feito pela gravidade.