O elevador D e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg , enquanto o contrapeso C tem massa de 400 kg . Determine a potência liberada pelo motor elétrico M quando o elevador se move com uma velocidade instantânea de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e aceleração de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, ambas orientadas para cima. k=20 \mathrm{kN} / \mathrm{m}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (identifiquei também um dado na imagem):\n
  • O enunciado pede: determinar a potência liberada (fornecida) pelo motor elétrico M no instante dado.\n
  • Dados fornecidos no enunciado:\n
    \;m_D = 300\\ \mathrm{kg} (massa do elevador D com carga),\n
    \;m_C = 400\\ \mathrm{kg} (massa do contrapeso C),\n
    \;v = 2{,}5\\ \mathrm{m/s} (velocidade instantânea do elevador, orientada para cima),\n
    \;a = 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração do elevador, orientada para cima),\n
    \;k = 20\\ \mathrm{kN/m} = 20000\\ \mathrm{N/m}.\n
  • Dado obtido da imagem (estou tomando este valor diretamente da figura): a mola tem alongamento atual \;x = 0{,}5\\ \mathrm{m} (veja a indicação “0,5 m” na figura). Declarei isso explicitamente porque a instrução dizia para usar dados da figura quando presentes.\n
  • Observação de movimento: como o elevador D sobe com velocidade v para cima, o contrapeso C se move para baixo com a mesma rapidez (movimento ligado por cabo sem deslizamento), portanto a velocidade do contrapeso tem módulo v e sentido oposto.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):\n
  • Em um sistema ideal (sem perdas por atrito nem inércia rotacional dada), a potência fornecida pelo motor P_M é igual à taxa de variação da energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional + energia elástica da mola):\n
P_M=\frac{d}{dt}\left(E_{c}+E_{g}+E_{s}\right).
  • Explicando cada termo:\n
    • E_{c} é a energia cinética total das massas; para uma partícula de massa m com velocidade v temos E_c=\tfrac12 m v^2. A derivada temporal dá \dfrac{d}{dt}\left(\tfrac12 m v^2\right)=m v a, pois a=dv/dt.\n
    • E_{g} é a energia potencial gravitacional; sua taxa de variação para cada massa é m g v_{\text{(vertical)}} (positivo quando a massa sobe, pois potencial aumenta). Aqui tomamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.\n
    • E_{s} é a energia elástica da mola dada por E_s=\tfrac12 k x^2. A taxa de variação é \dfrac{dE_s}{dt}=k x \,\dot{x}, onde \dot{x}=dx/dt é a velocidade de variação do comprimento da mola.\n
  • Portanto vamos calcular separadamente:\n
    1. \dfrac{dE_c}{dt} (taxa de variação da energia cinética),\n
    2. \dfrac{dE_g}{dt} (taxa de variação da energia gravitacional),\n
    3. \dfrac{dE_s}{dt} (taxa de variação da energia da mola),\n
      e somar tudo para obter P_M.

Passo 3

Cálculo da taxa de variação da energia cinética (aula prática):\n
  • Cada massa tem energia cinética E_c=\tfrac12 m v^2. Derivando no tempo:\n
\frac{dE_c}{dt}=m v a.
  • Aplico às duas massas (lembre que ambas têm mesma velocidade em módulo e aceleração em módulo; o contrapeso tem velocidade/oposição de sentido, mas o produto v a aparece com sinais que tornam-se ambos positivos quando usamos os módulos corretamente na fórmula de variação de energia cinética):\n
\frac{dE_{c,\text{total}}}{dt}=m_D v a + m_C v a=(m_D+m_C)\,v\,a.
  • Substituindo números:\n
(m_D+m_C)\,v\,a=(300+400)\cdot 2{,}5 \cdot 1{,}0 =700\cdot 2{,}5 =1750\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: a energia cinética total está aumentando a uma taxa de 1750\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Cálculo da taxa de variação da energia gravitacional (aula prática):\n
  • Para uma massa m que se desloca verticalmente com velocidade v_{y} (positivo para cima), a taxa de variação da energia potencial gravitacional é m g v_{y}.\n
  • Tomemos a velocidade do elevador D como v_D=+v (para cima) e a do contrapeso C como v_C=-v (pois ele desce quando o elevador sobe). Assim a variação total é:\n
\frac{dE_g}{dt}=m_D g v_D + m_C g v_C = m_D g v + m_C g (-v)=(m_D-m_C)\,g\,v.
  • Substituindo números ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):\n
(m_D-m_C)\,g\,v=(300-400)\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5 =(-100)\cdot 9{,}81\cdot 2{,}5=-2452{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: o valor negativo indica que, neste movimento (e neste instante), a energia potencial gravitacional total do sistema está diminuindo à taxa de 2452{,}5\\ \mathrm{W} — faz sentido porque o contrapeso mais pesado está descendo, liberando mais energia potencial do que a que é ganha pelo elevador mais leve ao subir.

Passo 5

Cálculo da taxa de variação da energia elástica da mola (aula prática sobre mola):\n
  • Energia elástica: E_s=\tfrac12 k x^2. A taxa é\n \frac{dE_s}{dt}=k x \,\dot{x},
onde \dot{x}=dx/dt é a velocidade do alongamento da mola.\n
  • Interpretação do sistema (usei a figura): a mola está ligada ao lado do contrapeso; quando o elevador sobe com velocidade v, o contrapeso desce com velocidade v, de modo que a mola se alonga à taxa \dot{x}=v (a mola está se tornando mais alongada). Assim tomamos \dot{x}=v. Declarei esse raciocínio porque o sentido do movimento do contrapeso determina se a mola se alonga ou comprime.\n
  • Portanto:\n \frac{dE_s}{dt}=k x v.
  • Substituindo números ( k=20000\\ \mathrm{N/m}, x=0{,}5\\ \mathrm{m}, v=2{,}5\\ \mathrm{m/s}):\n
\frac{dE_s}{dt}=20000\cdot 0{,}5\cdot 2{,}5 =20000\cdot 1{,}25 =25000\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: a energia elástica da mola está aumentando a uma taxa de 25000\\ \mathrm{W}; esse é um termo grande aqui, porque a mola é rígida e já tem alongamento.

Passo 6

Somando todas as contribuições para obter a potência do motor (juntando as aulas):\n
  • Usando a fórmula do Passo 2:\n
P_M=\frac{dE_c}{dt}+\frac{dE_g}{dt}+\frac{dE_s}{dt}.
  • Substituindo os valores que calculamos:\n
P_M = 1750\\ \mathrm{W} + (-2452{,}5\\ \mathrm{W}) + 25000\\ \mathrm{W}.
  • Efetuando a soma:\n
P_M = 1750 -2452{,}5 +25000 =24297{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação física final: P_M>0 significa que o motor está fornecendo energia ao sistema (ou seja, está entregando essa potência). A maior parte da potência está indo para aumentar a energia elástica da mola; uma pequena parte para aumentar a energia cinética e outra parte é compensação do trabalho feito pela gravidade.

Resposta

P_M \approx 24{,}30\\ \mathrm{kW}

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