QUESTÃO 5: (20 PONTOS)
Um bloco de 30 kg é solto de uma altura de 2 m sobre o prato de 10 kg de uma balança de mola. Considerando que o impacto seja perfeitament plástico, determine a máxima deflexão do prato. A constante da mola et
.
Um bloco de 30 kg é solto de uma altura de 2 m sobre o prato de 10 kg de uma balança de mola. Considerando que o impacto seja perfeitament plástico, determine a máxima deflexão do prato. A constante da mola et
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a máxima deflexão do prato (compressão da mola):
- Massa do bloco:
. - Altura de queda do bloco:
. - Massa do prato (da balança):
. - Impacto perfeitamente plástico (o bloco fica aderido ao prato).
- Constante da mola:
.
Pergunta explícita: determinar a máxima deflexãodo prato (ou seja, a compressão máxima da mola) após o bloco ser solto e colidir plasticamente com o prato.
Passo 2
Primeiro vamos achar a velocidade do bloco imediatamente antes do impacto. Podemos usar conservação de energia para a queda livre: a energia potencial gravitacional perdida vira energia cinética pouco antes do impacto. A fórmula é
onde
é a aceleração da gravidade (
),
é a velocidade imediatamente antes do impacto. Cancelando
e isolando
,
Substituindo os valores numéricos,
Passo 3
Como o impacto é perfeitamente plástico, o bloco e o prato movem-se juntos imediatamente após a colisão. Nesse instante a quantidade de movimento linear se conserva (forças externas atuam, mas no instante da colisão a troca interna domina), então usamos conservação do momento linear:
onde
é a velocidade comum imediatamente após a colisão. Assim
Substituindo valores:
Usando
obtido antes,
Passo 4
Calculemos a energia cinética do conjunto massa total
imediatamente após a colisão:
A energia cinética é
Podemos simplificar
usando a relação
e
:
Logo
Substituindo números:
Passo 5
Agora modelamos o movimento durante a compressão da mola: a energia cinética do conjunto logo após a colisão mais a perda adicional de energia potencial gravitacional durante a compressão são convertidas em energia armazenada na mola até o ponto de máxima compressão (velocidade zero). Escrevemos balanço de energia entre o instante logo após a colisão e o ponto de compressão máxima:
onde
é a compressão máxima (deflexão) e
é a energia potencial gravitacional perdida quando o centro de massa desce de
. Reorganizando para formar uma equação polinomial em
:
Multiplicando por 2 para ficar mais simples:
Passo 6
Substituímos os valores numéricos nesta equação quadrática. Já temos
,
,
e
pode ser obtido de passo anterior:
Escrevendo a quadrática com coeficientes:
onde calculamos
e
(valores em unidades SI).
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para a raiz positiva:
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para a raiz positiva:
Calculando o discriminante:
Portanto
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: o valor faz sentido na ordem de grandeza (algumas dezenas de centímetros para mola relativamente rígida
e energia disponível de algumas centenas de joules). Unidades conferem (metros). Podemos arredondar para dois/três algarismos significativos conforme necessidade de prova.