QUESTÃO 5: (20 PONTOS)
Um bloco de 30 kg é solto de uma altura de 2 m sobre o prato de 10 kg de uma balança de mola. Considerando que o impacto seja perfeitament plástico, determine a máxima deflexão do prato. A constante da mola et k=20 \mathrm{kN} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a máxima deflexão do prato (compressão da mola):
  • Massa do bloco: m_1 = 30\\ \mathrm{kg}.
  • Altura de queda do bloco: h = 2\\ \mathrm{m}.
  • Massa do prato (da balança): m_2 = 10\\ \mathrm{kg}.
  • Impacto perfeitamente plástico (o bloco fica aderido ao prato).
  • Constante da mola: k = 20\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m} = 20000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.

    Pergunta explícita: determinar a máxima deflexão x do prato (ou seja, a compressão máxima da mola) após o bloco ser solto e colidir plasticamente com o prato.

Passo 2

Primeiro vamos achar a velocidade do bloco imediatamente antes do impacto. Podemos usar conservação de energia para a queda livre: a energia potencial gravitacional perdida vira energia cinética pouco antes do impacto. A fórmula é
\frac{1}{2}m_1 v^2 = m_1 g h,
onde g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}), v é a velocidade imediatamente antes do impacto. Cancelando m_1 e isolando v,
v = \sqrt{2 g h}.
Substituindo os valores numéricos,
v = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 2}=\sqrt{39{,}24}\approx 6{,}2639\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Como o impacto é perfeitamente plástico, o bloco e o prato movem-se juntos imediatamente após a colisão. Nesse instante a quantidade de movimento linear se conserva (forças externas atuam, mas no instante da colisão a troca interna domina), então usamos conservação do momento linear:
m_1 v = (m_1+m_2)V_0,
onde V_0 é a velocidade comum imediatamente após a colisão. Assim
V_0 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\,v.
Substituindo valores:
V_0 = \frac{30}{30+10}\,v = \frac{30}{40}\,v = \tfrac{3}{4}v.
Usando v obtido antes,
V_0 \approx 0{,}75\cdot 6{,}2639 \approx 4{,}6979\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculemos a energia cinética do conjunto massa total M=m_1+m_2 imediatamente após a colisão:
M = m_1+m_2 = 30+10 = 40\\ \mathrm{kg}.
A energia cinética é
E_k = \tfrac{1}{2} M V_0^2.
Podemos simplificar V_0^2 usando a relação V_0 = \tfrac{3}{4}v e v^2=2gh:
V_0^2 = \left(\tfrac{3}{4}\right)^2 v^2 = \tfrac{9}{16}\cdot 2 g h = \tfrac{9}{8} g h.
Logo
\tfrac{1}{2} M V_0^2 = \tfrac{1}{2} M \cdot \tfrac{9}{8} g h = M\cdot \frac{9}{16} g h.
Substituindo números:
\tfrac{1}{2} M V_0^2 = 40\cdot \frac{9}{16}\cdot 9{,}81\cdot 2 = 441{,}45\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Agora modelamos o movimento durante a compressão da mola: a energia cinética do conjunto logo após a colisão mais a perda adicional de energia potencial gravitacional durante a compressão são convertidas em energia armazenada na mola até o ponto de máxima compressão (velocidade zero). Escrevemos balanço de energia entre o instante logo após a colisão e o ponto de compressão máxima:
\tfrac{1}{2} M V_0^2 + M g x = \tfrac{1}{2} k x^2,
onde x é a compressão máxima (deflexão) e M g x é a energia potencial gravitacional perdida quando o centro de massa desce de x. Reorganizando para formar uma equação polinomial em x:
\tfrac{1}{2} k x^2 - M g x - \tfrac{1}{2} M V_0^2 = 0.
Multiplicando por 2 para ficar mais simples:
k x^2 - 2 M g x - M V_0^2 = 0.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos nesta equação quadrática. Já temos k=20000\\ \mathrm{N/m}, M=40\\ \mathrm{kg}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e M V_0^2 pode ser obtido de passo anterior:
M V_0^2 = 882{,}90\\ \mathrm{(J\cdot 2?)}\\ \text{(na equação aparece como termo numérico, veja abaixo)}.çãé
Escrevendo a quadrática com coeficientes:
20000\,x^2 - 784{,}8\,x - 882{,}9 = 0,
onde calculamos 2 M g = 2\cdot 40\cdot 9{,}81 = 784{,}8 e M V_0^2 = 882{,}9 (valores em unidades SI).
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara para a raiz positiva:
x = \frac{2 M g + \sqrt{(2 M g)^2 + 4 k M V_0^2}}{2k}.
Calculando o discriminante:
\Delta = (784{,}8)^2 + 4\cdot 20000\cdot 882{,}9 \approx 71\,247\,911{,}04.
\sqrt{\Delta}\approx 8440{,}85.
Portanto
x = \frac{784{,}8 + 8440{,}85}{40000} \approx \frac{9225{,}65}{40000}\approx 0{,}23064\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o valor faz sentido na ordem de grandeza (algumas dezenas de centímetros para mola relativamente rígida k=20000\\ \mathrm{N/m} e energia disponível de algumas centenas de joules). Unidades conferem (metros). Podemos arredondar para dois/três algarismos significativos conforme necessidade de prova.

Resposta

x \approx 0{,}231\\ \mathrm{m}

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