O elevador D e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg , enquanto o contrapeso C tem massa de 400 kg . Determine a potência liberada pelo motor elétrico M quando o elevador se move para cima com uma velocidade constante de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a potência liberada pelo motor M quando o elevador D sobe com velocidade constante. Dados fornecidos:
  • massa do elevador mais carga: m_D = 300\\ \mathrm{kg};
  • massa do contrapeso: m_C = 400\\ \mathrm{kg};
  • velocidade do elevador (para cima): v = 2{,}5\\ \mathrm{m/s}.
    Não usarei nenhuma outra dimensão da figura (como o desenho da polia), porque para velocidade constante basta considerar as forças peso e a potência associada a elas.

Passo 2

O que significa “potência liberada pelo motor”? Vou explicar o conceito de potência de forma simples e prática para a prova.
  • Potência mecânica instantânea é a taxa de trabalho: a força projetada na direção do movimento vezes a velocidade. Em símbolos, para uma força F que atua sobre um corpo que se desloca com velocidade \vec v,
\text{potência} = P = \vec F\cdot\vec v.ê
  • Para a força peso de um corpo de massa m (que é \vec P = -m g\,\hat y, direção para baixo) e um deslocamento vertical com velocidade v para cima (tomando para cima positivo), o trabalho por unidade de tempo (potência) fornecido pela gravidade é
P_{\text{peso}} = \vec P\cdot\vec v = -m g v.
  • Se o corpo se desloca para baixo com velocidade v (para baixo sendo negativo de cima para baixo), o produto muda de sinal e a potência da gravidade fica +m g v.
  • Como a velocidade é constante, a aceleração é zero. Pela primeira lei (energia/ trabalho), a soma das potências de todas as forças que atuam sobre o sistema é zero: potência fornecida pelo motor + potência dos pesos + potências de outras forças (atrito, aqui desprezado) = 0. Assim, o motor deve fornecer (ou absorver) a potência necessária para equilibrar a diferença entre as potências dos pesos.

Passo 3

Aplicando esse raciocínio ao sistema com duas massas ligadas por cabo:
  • O elevador D sobe com velocidade v. A potência dada pela gravidade sobre o elevador é
P_{g,D} = -m_D g v.
(negativa porque o peso atua para baixo e o deslocamento é para cima).
  • O contrapeso C desce com a mesma velocidade v. A potência dada pela gravidade sobre o contrapeso é
P_{g,C} = +m_C g v.
(positiva porque peso e deslocamento têm o mesmo sentido).
  • A soma das potências das forças peso é então
P_{g,\text{total}} = P_{g,C}+P_{g,D} = m_C g v - m_D g v = (m_C - m_D)\,g\,v.

Passo 4

Como a velocidade é constante e não consideramos outras perdas, a soma das potências deve ser zero. Então a potência do motor P_M deve equilibrar a potência resultante dos pesos com sinal oposto:
P_M + P_{g,\text{total}} = 0 \quad\Rightarrow\quad P_M = -P_{g,\text{total}}.
Interpretando fisicamente: se P_{g,\text{total}}>0 (ou seja, o contrapeso é mais pesado), há energia sendo liberada pelos pesos e o motor deve absorver essa potência (age como gerador). “Potência liberada pelo motor” aqui corresponde ao valor que o motor fornece para fora do sistema; portanto, quando o contrapeso é maior, o motor libera potência (entrega energia elétrica) igual a P_{g,\text{total}}.

Passo 5

Calculemos numericamente. Usamos g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
P_{g,\text{total}} = (m_C - m_D)\,g\,v = (400 - 300)\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5.
Primeiro calcule a diferença de massas:
m_C - m_D = 100\\ \mathrm{kg}.
Agora a multiplicação:
P_{g,\text{total}} = 100 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5 = 100 \cdot 24{,}525 = 2452{,}5\\ \mathrm{W}.
Esse é o ritmo de energia liberado pelos pesos; portanto o motor libera a mesma potência para fora (age como gerador) de magnitude 2452{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Expressando em unidades usuais (quilowatts) e arredondando razoavelmente para a prova:
2452{,}5\\ \mathrm{W} \approx 2{,}45\\ \mathrm{kW}.
Interpretação final: o motor libera 2{,}45\\ \mathrm{kW} (ou seja, entrega essa potência à linha elétrica) enquanto o elevador sobe com velocidade constante de 2{,}5\\ \mathrm{m/s}, devido ao contrapeso mais pesado.

Resposta

P = 2452{,}5\\ \mathrm{W} \approx 2{,}45\\ \mathrm{kW}

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