Determine times para que as matrizes a seguir sejam iguais as suas inversas.
(cc2 & x -1 & -2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de para que a matriz dada seja igual à sua própria inversa. Ou seja, queremos que a matriz seja sua própria inversa. Para isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e resolver uma equação envolvendo essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz:
A = a & b c & d
A inversa de A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , denotada por , é dada por:
Desde que o determinante não seja zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à matriz que nos foi dada:
A = 2 & x -1 & -2
Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = (2)(-2) - (x)(-1) = -4 + x :
-4 + x neq 0 implies x neq 4
Para que a inversa exista, o determinante não pode ser zero:

Passo 4

Agora, vamos escrever a inversa de A^-1 = 1-4 + x -2 & -x 1 & 2 usando a fórmula:
2 & x -1 & -2 = 1-4 + x -2 & -x 1 & 2
Queremos que , então igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:

Passo 5

Para que as duas matrizes sejam iguais, os elementos correspondentes devem ser iguais. Vamos considerar o elemento da posição (1,1):
2 = -2-4 + x
Resolvendo essa equação:
2(-4 + x) = -2 -8 + 2x = -2 2x = 6 x = 3

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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