Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
l2 x+3 y-z=0 x+2 y+4 z=0 x-14 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
2x + 3y - z = 0 x + 2y + 4z = 0 x - 14z = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é a eliminação de Gauss-Jordan, uma técnica para simplificar sistemas de equações lineares e encontrar as variáveis. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer algumas operações para deixar essa matriz na forma mais simples possível.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos realizar. A matriz aumentada fica assim:
2 & 3 & -1 & | & 0 1 & 2 & 4 & | & 0 1 & 0 & -14 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas correspondem aos coeficientes das variáveis , , e o termo constante.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma escalonada reduzida, onde cada linha começará com 1 e terá zeros abaixo e acima desse 1. Vamos começar dividindo a primeira linha por 2 para deixar o primeiro elemento como 1:
1 & 1.5 & -0.5 & | & 0 1 & 2 & 4 & | & 0 1 & 0 & -14 & | & 0

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1
Isso resulta em:
1 & 1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 0.5 & 4.5 & | & 0 0 & -1.5 & -13.5 & | & 0

Passo 5

Vamos agora simplificar a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por 2 para facilitar:
1 & 1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & 9 & | & 0 0 & -1.5 & -13.5 & | & 0
Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, adicionamos 1.5 vezes a segunda linha à terceira linha:
  • Linha 3: Linha 3 + 1.5 × Linha 2
1 & 1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & 9 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, a terceira linha ficou com todos zeros, o que indica que temos infinitas soluções ou que o sistema é dependente. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Observando a segunda linha:
y + 9z = 0 implies y = -9z
E na primeira linha:
x + 1.5y - 0.5z = 0 implies x = -1.5y + 0.5z
Substituindo x = -1.5(-9z) + 0.5z = 13.5z + 0.5z = 14z :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 14z y = -9z z = z (onde z é qualquer número real) éú
Ou seja, podemos expressar as variáveis em função de (x, y, z) = (14z, -9z, z) para qualquer z in R :

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