Determine A \times B \times C, B^{2}, A^{3}, B^{2} \times A e A \times B onde A=\{1\}, B=\{a, b\}, C=\{2,3\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes coleções:
A = \{1\},\quad B = \{a,b\},\quad C = \{2,3\}
e pede vários produtos cartesianos. Vamos usar a definição: dado X e Y,
X\times Y = \{(x,y)\mid x\in X,\;y\in Y\},
e estender da mesma forma para três fatores.

Passo 2

Para A\times B\times C, tomamos um elemento de cada conjunto, na ordem A,B,C. Como A só tem 1, obtemos:
A\times B\times C = \{(1,a,2),\,(1,a,3),\,(1,b,2),\,(1,b,3)\}.

Passo 3

Para B^2 interpretamos como B\times B. Então são todos os pares de B com B:
B^2 = B\times B = \{(a,a),\,(a,b),\,(b,a),\,(b,b)\}.

Passo 4

Para A^3 temos A\times A\times A. Como A só tem 1, só há:
A^3 = \{(1,1,1)\}.

Passo 5

Para B^2\times A pegamos cada par de B^2 e emparelhamos com o único elemento de A:
B^2\times A = \{\,((a,a),1),\,((a,b),1),\,((b,a),1),\,((b,b),1)\}.

Passo 6

Por fim, A\times B são os pares (1,x) com x\in B:
A\times B = \{(1,a),\,(1,b)\}.

Resposta

A\times B\times C = \{(1,a,2),(1,a,3),(1,b,2),(1,b,3)\} B^2 = \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\} A^3 = \{(1,1,1)\} B^2\times A = \{((a,a),1),((a,b),1),((b,a),1),((b,b),1)\} A\times B = \{(1,a),(1,b)\}

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