Questão 2: (3 pontos) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(x y^{2}, x^{2} y\right) e C é a curva dada por \gamma(t)=(2 \sin t,-2 \cos t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y)=(x\,y^2,\;x^2\,y) e C é parametrizada por \gamma(t)=(2\sin t,\;-2\cos t), 0\le t\le\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha em campos vetoriais e, em especial, o uso de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se \vec F é conservativo. Escrevendo \vec F=(P,Q) com P(x,y)=x\,y^2 e Q(x,y)=x^2\,y, calculamos \frac{\partial P}{\partial y}=2x\,y e \frac{\partial Q}{\partial x}=2x\,y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em todo o domínio, \vec F é conservativo.

Passo 3

Se \vec F é conservativo, existe potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec F. Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x\,y^2\,dx=\tfrac12\,x^2\,y^2+g(y).
Para determinar g(y), usamos \partial\varphi/\partial y=Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^2\,y+g'(y)\overset!=x^2\,y \;\Longrightarrow\;g'(y)=0.
Logo podemos tomar g(y)=\text{constante}, e ficamos com
\varphi(x,y)=\tfrac12\,x^2\,y^2.

Passo 4

Pela fórmula fundamental para integrais de linha em campos conservativos,
\int_C\vec F\cdot d\vec r =\varphi\bigl(\gamma(\pi)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Calculamos \gamma(0)=(0,-2) e \gamma(\pi)=(0,2).
Então
\varphi(0,2)=\tfrac12\cdot0^2\cdot2^2=0, \quad \varphi(0,-2)=\tfrac12\cdot0^2\cdot(-2)^2=0,
logo \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=0-0=0.

Resposta

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