Questão 2: (3 pontos) Calcule a integral de linha
, onde
e
é a curva dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é parametrizada por
,
.
O conteúdo aqui é integral de linha em campos vetoriais e, em especial, o uso de campos conservativos.
O conteúdo aqui é integral de linha em campos vetoriais e, em especial, o uso de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se
é conservativo. Escrevendo
com
e
, calculamos
e
.
Como em todo o domínio,
é conservativo.
Como
Passo 3
Se
é conservativo, existe potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Para determinar
, usamos
:
Logo podemos tomar
, e ficamos com
Passo 4
Pela fórmula fundamental para integrais de linha em campos conservativos,
Calculamos
e
.
Então
Então
logo
.