Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
Passo 1
Enunciado: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
O que é pedido: encontrar
e
.
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
e
:
. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Derivada parcial: para a derivada parcial em relação a
mantemos fixo e derivamos como se fosse função de uma variável; análogo para derivada parcial em relação a . - Regra da cadeia (para funções compostas): se
, então
Aqui
é a derivada de
em uma variável e
é a derivada parcial de
.
- Regra do produto: se
e são funções, então
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Introduzo a substituição intermediária (para clareza):
. Então
.
Calculo das derivadas parciais primeiras usando a regra da cadeia:
- Primeiro calcule
e :
- Aplicando a regra da cadeia para
:
ou seja
ou seja
Explicação curta: para obter
derivamos
que vira
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
; idem para
.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Partimos de
e derivamos em relação a
(aqui usamos a regra do produto e, de novo, a regra da cadeia para a derivada de
).
Aplicando a regra do produto:
Calculamos cada termo:
e pela regra da cadeia
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 5
Agora calculo
. Parto de
e derivo em relação a
usando produto + cadeia.
Aplicando produto:
Calculamos os termos:
e
Substituindo:
Portanto,
Passo 6
Cálculo das derivadas mistas. Primeiro
.
Tomando e derivando em relação a
(nota:
é constante em relação a
):
Tomando
Logo
Agora
. Tomando
e derivando em relação a
(agora
é constante em relação a
):
Portanto
o que confirma
(como esperado quando as derivadas são contínuas).