Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

Enunciado: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função \;f(x,y)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
O que é pedido: encontrar \;f_{xx}(x,y),\;f_{yy}(x,y),\;f_{xy}(x,y) e \;f_{yx}(x,y).
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x e y: \;f(x,y)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr). Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Derivada parcial: para a derivada parcial em relação a x mantemos y fixo e derivamos como se fosse função de uma variável; análogo para derivada parcial em relação a y.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se \;f(x,y)=g\bigl(h(x,y)\bigr), então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial h}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial h}{\partial y}.
Aqui g' é a derivada de g em uma variável e \partial h/\partial x é a derivada parcial de h.
  • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u v\bigr)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Introduzo a substituição intermediária (para clareza): \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}. Então \;f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(u(x,y)\bigr).
Calculo das derivadas parciais primeiras usando a regra da cadeia:
  • Primeiro calcule \partial u/\partial x e \partial u/\partial y:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
  • Aplicando a regra da cadeia para f:
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\cdot 2x,
ou seja
f_{x}(x,y)=2x\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
\frac{\partial f}{\partial y}=\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\cdot(-2y),
ou seja
f_{y}(x,y)=-2y\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Explicação curta: para obter f_x derivamos \sin que vira \cos e multiplicamos pela derivada de u em relação a x; idem para y.

Passo 4

Agora vamos calcular \;f_{xx}(x,y). Partimos de
f_{x}(x,y)=2x\cos\bigl(u(x,y)\bigr),
e derivamos em relação a x (aqui usamos a regra do produto e, de novo, a regra da cadeia para a derivada de \cos).
Aplicando a regra do produto:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\bigr)\cdot\cos(u)+2x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(u)\bigr).
Calculamos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\bigr)=2,
e pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-\sin(u)\cdot 2x.
Substituindo:
f_{xx}=2\cos(u)+2x\cdot\bigl(-\sin(u)\cdot 2x\bigr) =2\cos(u)-4x^{2}\sin(u).
Voltando para x,y:
f_{xx}(x,y)=2\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 5

Agora calculo \;f_{yy}(x,y). Parto de
f_{y}(x,y)=-2y\cos\bigl(u(x,y)\bigr),
e derivo em relação a y usando produto + cadeia.
Aplicando produto:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\bigr)\cdot\cos(u)+(-2y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(u)\bigr).
Calculamos os termos:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\bigr)=-2,
e
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\sin(u)\cdot(-2y)=2y\sin(u).
Substituindo:
f_{yy}=-2\cos(u)+(-2y)\cdot\bigl(2y\sin(u)\bigr) =-2\cos(u)-4y^{2}\sin(u).
Portanto,
f_{yy}(x,y)=-2\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-4y^{2}\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 6

Cálculo das derivadas mistas. Primeiro \;f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr).
Tomando f_x=2x\cos(u) e derivando em relação a y (nota: 2x é constante em relação a y):
f_{xy}=2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(u)\bigr) =2x\cdot\bigl(-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}\bigr) =2x\cdot\bigl(-\sin(u)\cdot(-2y)\bigr) =4xy\sin(u).
Logo
f_{xy}(x,y)=4xy\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Agora \;f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr). Tomando f_y=-2y\cos(u) e derivando em relação a x (agora -2y é constante em relação a x):
f_{yx}=-2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(u)\bigr) =-2y\cdot\bigl(-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\bigr) =-2y\cdot\bigl(-\sin(u)\cdot 2x\bigr) =4xy\sin(u).
Portanto
f_{yx}(x,y)=4xy\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr),
o que confirma f_{xy}=f_{yx} (como esperado quando as derivadas são contínuas).

Resposta

f_{xx}(x,y)=2\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\n
f_{yy}(x,y)=-2\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-4y^{2}\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\n
f_{xy}(x,y)=4xy\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\n
f_{yx}(x,y)=4xy\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)

Exercícios relacionados