1. Determine todas as raízes racionais do polinômio R(x)=3 x^{4}-2 x^{3}-7 x^{2}+2 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes racionais do polinômio
R(x)=3x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+2x+4.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais, que diz que todo candidato a raiz racional é da forma \pm p/q, onde p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder, e em seguida faremos divisões sintéticas para confirmar quais são de fato raízes.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os divisores de p=4 são \pm1,\pm2,\pm4 e os de q=3 são \pm1,\pm3. Logo, os candidatos são
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm4,\\ \pm\tfrac13,\\ \pm\tfrac23,\\ \pm\tfrac43.

Passo 3

Vamos testar primeiro x=1 e x=-1:
Para x=1:
R(1)=3-2-7+2+4=0,
logo x=1 é raiz.
Para x=-1:
R(-1)=3+2-7-2+4=0,
logo x=-1 é raiz.

Passo 4

Como x=1 e x=-1 são raízes, dividimos R(x) por (x-1) e depois por (x+1) usando divisão sintética. Primeiro, ao dividir por x-1, obtemos o quociente
3x^{3}+x^{2}-6x-4.
Em seguida, dividindo esse por x+1, chegamos ao polinômio quadrático
Q(x)=3x^{2}-2x-4.

Passo 5

Para Q(x)=3x^{2}-2x-4, o discriminante é
\Delta =(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-4)=4+48=52,
cuja raiz \sqrt{52}=2\sqrt{13} não é racional. Portanto, Q(x)=0 não gera raízes racionais além das já encontradas.

Resposta

As raízes racionais de R(x) são
x=1\quad\text{e}\quad x=-1.

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