1. Utilize o Teorema das Raízes Racionais para listar todos os possíveis candidatos a raízes racionais do polinômio Q(x)=2 x^{3}+x^{2}-7 x-6. Em seguida, encontre as raízes racionais.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema das Raízes Racionais no polinômio
Q(x)=2x^{3}+x^{2}-7x-6
para listar todos os possíveis candidatos a raízes racionais e, depois, verificar quais deles são de fato raízes.

Passo 2

O Teorema das Raízes Racionais afirma que, se \tfrac{p}{q} é uma raiz racional em forma irreduzida, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é -6 e o coeficiente líder é 2. Logo, os divisores de -6 são \pm1,\pm2,\pm3,\pm6 e os de 2 são \pm1,\pm2. Os candidatos são:
\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm6,\;\pm\frac12,\;\pm\frac32.

Passo 3

Testamos alguns desses candidatos em Q(x):
- Para x=1:
Q(1)=2+1-7-6=-10\neq0.
- Para x=-1:
Q(-1)=-2+1+7-6=0,
logo x=-1 é raiz.

Passo 4

Como x=-1 é raiz, podemos dividir Q(x) por (x+1). Fazendo a divisão polinomial ou sintética, obtemos
2x^{3}+x^{2}-7x-6=(x+1)\bigl(2x^{2}-x-6\bigr).

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática 2x^{2}-x-6=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2} =\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{4} =\frac{1\pm7}{4}.
Isso dá
x=\frac{1+7}{4}=2 \quad\text{e}\quad x=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac32.

Resposta

As raízes racionais de Q(x) são
x=-1,\quad x=2,\quad x=-\frac32.

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