Determine todas as soluções inteiras:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação linear
Informações dadas:
- Coeficientes:
e . - Termo independente:
. - Procuram‑se pares
com .
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular
pelo algoritmo de Euclides para saber se existem soluções inteiras.
Logo
. Como
divide
, a equação tem solução inteira (condição necessária e suficiente para equações diofantinas lineares
:
deve dividir
).
Passo 3
Agora usamos o procedimento de Bézout (retro‑substituição do algoritmo de Euclides) para obter coeficientes
tais que
Voltando nas igualdades:
e como
, substitui‑se:
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma solução particular da equação original:
ou seja, um par particular é
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Forma geral das soluções inteiras: para
com
e
particular, todas as soluções são
com
. Aqui
,
,
. Assim
Passo 5
Pequena verificação algebrica: substituindo na equação,
portanto todas as soluções da forma acima realmente satisfazem a equação. Exemplo de alguns
:
-
. -
. -
.