Determine todas as soluções inteiras:
48 x+7 y=5

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação linear
48x + 7y = 5.
Informações dadas:
  • Coeficientes: a=48 e b=7.
  • Termo independente: c=5.
  • Procuram‑se pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular \gcd(48,7) pelo algoritmo de Euclides para saber se existem soluções inteiras.
48 = 6\cdot 7 + 6,
7 = 1\cdot 6 + 1,
6 = 6\cdot 1 + 0.
Logo \gcd(48,7)=1. Como 1 divide 5, a equação tem solução inteira (condição necessária e suficiente para equações diofantinas lineares ax+by=c: d=\gcd(a,b) deve dividir c).

Passo 3

Agora usamos o procedimento de Bézout (retro‑substituição do algoritmo de Euclides) para obter coeficientes u,v tais que
48u + 7v = 1.
Voltando nas igualdades:
1 = 7 - 1\cdot 6,
e como 6 = 48 - 6\cdot 7, substitui‑se:
1 = 7 - (48 - 6\cdot 7) = 7 - 48 + 6\cdot 7 = 7\cdot 7 - 48.
Portanto
1 = (-1)\cdot 48 + 7\cdot 7.
Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos uma solução particular da equação original:
5 = (-5)\cdot 48 + 35\cdot 7,
ou seja, um par particular é
x_0 = -5,\qquad y_0 = 35.
(Verificação rápida: 48\cdot(-5)+7\cdot35=-240+245=5.)

Passo 4

Forma geral das soluções inteiras: para ax+by=c com d=\gcd(a,b) e (x_0,y_0) particular, todas as soluções são
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
com t\in\mathbb{Z}. Aqui d=1, a=48, b=7. Assim
x = -5 + 7t,\qquad y = 35 - 48t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Pequena verificação algebrica: substituindo na equação,
48(-5+7t)+7(35-48t)=48\cdot(-5)+7\cdot35 + (48\cdot7t - 7\cdot48t)=5 + 0 = 5,
portanto todas as soluções da forma acima realmente satisfazem a equação. Exemplo de alguns t:
  • t=0\Rightarrow (x,y)=(-5,35).
  • t=1\Rightarrow (x,y)=(2,-13).
  • t=-1\Rightarrow (x,y)=(-12,83).

Resposta

x = -5 + 7t,\qquad y = 35 - 48t,\qquad t\in\mathbb{Z}

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