Encontre a derivada da função
F(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Foi dada a função F definida por
F(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{2}}\,dt.
  • O que se pede: calcular a derivada F'(x).\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • O integrando é e^{t^{2}}.
  • Os limites de integração dependem de x: o limite inferior é a(x)=x e o limite superior é b(x)=x^{2}.
  • Não há necessidade de encontrar uma primitiva explícita de e^{t^{2}} (que não tem primitiva elementar). Em vez disso vamos usar regras sobre derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Lembrete útil (Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia):\n
  • Se G(u)=\displaystyle\int_{c}^{u} f(t)\,dt então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
G'(u)=f(u).
Aqui c é uma constante qualquer; o importante é que a derivada de uma integral cuja variável de integração é o limite superior é simplesmente o integrando avaliado nesse limite.\n
  • Se tivermos uma composição como G(h(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}G(h(x)) = G'(h(x))\cdot h'(x).

Passo 3

Reescrever F(x) usando uma primitiva abstrata:\n
Escolhe-se uma primitiva “indefinida” acumulada H definida por
H(u)=\int_{c}^{u} e^{t^{2}}\,dt,
onde c é uma constante qualquer (por exemplo c=0). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue que
H'(u)=e^{u^{2}}.
Agora podemos escrever a integral original como diferença de duas avaliações de H:
F(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{2}}\,dt = H(x^{2})-H(x).
Isto é válido porque \int_{x}^{x^{2}}=\int_{c}^{x^{2}}-\int_{c}^{x}.

Passo 4

Derivar F(x)=H(x^{2})-H(x) aplicando a regra da cadeia:\n
  • Derivada de H(x^{2}):
\frac{d}{dx}H(x^{2}) = H'(x^{2})\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = e^{(x^{2})^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{4}}.
Aqui usei H'(u)=e^{u^{2}} com u=x^{2}, por isso H'(x^{2})=e^{(x^{2})^{2}}=e^{x^{4}}, e multipliquei por \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.\n
  • Derivada de -H(x):
\frac{d}{dx}\bigl(-H(x)\bigr) = -H'(x)\cdot 1 = -e^{x^{2}}.
Somando as duas partes:
F'(x)=2x\,e^{x^{4}} - e^{x^{2}}.

Passo 5

Verificação alternativa (fórmula de Leibniz para limites variáveis):\n
Existe uma fórmula direta: se F(x)=\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt então
F'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x) - f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aplicando aqui com f(t)=e^{t^{2}}, a(x)=x e b(x)=x^{2}:
F'(x)=e^{(x^{2})^{2}}\cdot (2x) - e^{x^{2}}\cdot(1)=2x\,e^{x^{4}}-e^{x^{2}},
mesma resposta obtida antes. Esta fórmula é prática e rápida de usar em provas.\n
Pequeno exemplo para consolidar a ideia: se em vez de e^{t^{2}} tivéssemos f(t)=t, então
\frac{d}{dx}\int_{x}^{x^{2}} t\,dt = f(x^{2})\cdot 2x - f(x)\cdot 1 = (x^{2})\cdot 2x - x = 2x^{3}-x,
o que confere com derivar diretamente a primitiva \tfrac{1}{2}(x^{4}-x^{2}).

Resposta

F'(x)=2x\,e^{x^{4}}-e^{x^{2}}

Exercícios relacionados