Encontre a derivada da função
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Foi dada a função
definida por
- O que se pede: calcular a derivada
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n - O integrando é
. - Os limites de integração dependem de
: o limite inferior é e o limite superior é . - Não há necessidade de encontrar uma primitiva explícita de
(que não tem primitiva elementar). Em vez disso vamos usar regras sobre derivação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Lembrete útil (Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia):\n
- Se
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Aqui
é uma constante qualquer; o importante é que a derivada de uma integral cuja variável de integração é o limite superior é simplesmente o integrando avaliado nesse limite.\n
- Se tivermos uma composição como
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Passo 3
Reescrever
usando uma primitiva abstrata:\n
Escolhe-se uma primitiva “indefinida” acumulada definida por
Escolhe-se uma primitiva “indefinida” acumulada
onde
é uma constante qualquer (por exemplo
). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue que
Agora podemos escrever a integral original como diferença de duas avaliações de
:
Isto é válido porque
.
Passo 4
Derivar
aplicando a regra da cadeia:\n
- Derivada de
:
Aqui usei
com
, por isso
, e multipliquei por
.\n
- Derivada de
:
Somando as duas partes:
Passo 5
Verificação alternativa (fórmula de Leibniz para limites variáveis):\n
Existe uma fórmula direta: se então
Existe uma fórmula direta: se
Aplicando aqui com
,
e
:
mesma resposta obtida antes. Esta fórmula é prática e rápida de usar em provas.\n
Pequeno exemplo para consolidar a ideia: se em vez de tivéssemos
, então
Pequeno exemplo para consolidar a ideia: se em vez de
o que confere com derivar diretamente a primitiva
.