A função a integrar é f(y)=\dfrac{y^{2}+2y}{\sqrt[3]{y^{3}+3y^{2}+4}}.
Os limites de integração são y=0 e y=1.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Estratégia (motivo da escolha): notar que o denominador é a raiz cúbica de y^{3}+3y^{2}+4 e o numerador é y^{2}+2y. Se tomar
u = y^{3}+3y^{2}+4,
a derivada de u em relação a y é múltipla de y^{2}+2y. Isso sugere a substituição de variável u (substituição simples) que tornará a integral numa potência simples de u e permitirá usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Agora vamos executar essa substituição passo a passo.
Passo 3
Fazer a substituição u = y^{3}+3y^{2}+4. Calcular du:
\frac{du}{dy} = 3y^{2}+6y = 3(y^{2}+2y).
Assim
(y^{2}+2y)\,dy = \frac{1}{3}\,du.
Também devemos transformar os limites de integração: quando y=0,
u(0)=0^{3}+3\cdot0^{2}+4=4,
e quando y=1,
u(1)=1^{3}+3\cdot1^{2}+4=1+3+4=8.
Passo 4
Reescrever a integral em termos de u. Substituindo (y^{2}+2y)\,dy por \dfrac{1}{3}\,du e \sqrt[3]{y^{3}+3y^{2}+4} por \sqrt[3]{u}=u^{1/3}, obtemos