Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
\int_{0}^{1} \frac{\left(y^{2}+2 y\right) d y}{\sqrt[3]{y^{3}+3 y^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{\left(y^{2}+2 y\right)\,dy}{\sqrt[3]{y^{3}+3 y^{2}+4}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(y)=\dfrac{y^{2}+2y}{\sqrt[3]{y^{3}+3y^{2}+4}}.
  • Os limites de integração são y=0 e y=1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Estratégia (motivo da escolha): notar que o denominador é a raiz cúbica de y^{3}+3y^{2}+4 e o numerador é y^{2}+2y. Se tomar
u = y^{3}+3y^{2}+4,
a derivada de u em relação a y é múltipla de y^{2}+2y. Isso sugere a substituição de variável u (substituição simples) que tornará a integral numa potência simples de u e permitirá usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Agora vamos executar essa substituição passo a passo.

Passo 3

Fazer a substituição u = y^{3}+3y^{2}+4. Calcular du:
\frac{du}{dy} = 3y^{2}+6y = 3(y^{2}+2y).
Assim
(y^{2}+2y)\,dy = \frac{1}{3}\,du.
Também devemos transformar os limites de integração: quando y=0,
u(0)=0^{3}+3\cdot0^{2}+4=4,
e quando y=1,
u(1)=1^{3}+3\cdot1^{2}+4=1+3+4=8.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo (y^{2}+2y)\,dy por \dfrac{1}{3}\,du e \sqrt[3]{y^{3}+3y^{2}+4} por \sqrt[3]{u}=u^{1/3}, obtemos
\int_{0}^{1} \frac{(y^{2}+2y)\,dy}{\sqrt[3]{y^{3}+3y^{2}+4}} = \int_{u=4}^{u=8} \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^{1/3}} = \frac{1}{3}\int_{4}^{8} u^{-1/3}\,du.

Passo 5

Calcular a primitiva de u^{-1/3}. Usar a fórmula básica de potencia para integrais: para p\neq -1,
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=-\tfrac{1}{3}, então
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{-1/3+1}}{-1/3+1} = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}u^{2/3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que estava fora da integral,
\frac{1}{3}\int u^{-1/3}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}u^{2/3} = \frac{1}{2}u^{2/3}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida vale a diferença da primitiva entre os limites:
\frac{1}{2}\bigl.u^{2/3}\bigr|_{u=4}^{u=8} = \frac{1}{2}\bigl(8^{2/3}-4^{2/3}\bigr).

Passo 6

Simplificar os termos numéricos. Calcular 8^{2/3} e 4^{2/3}:
8^{2/3} = \bigl(8^{1/3}\bigr)^{2} = 2^{2} = 4,
4^{2/3} = \bigl(4^{1/3}\bigr)^{2} = (2^{2})^{2/3} = 2^{4/3}.
Então
\frac{1}{2}\bigl(8^{2/3}-4^{2/3}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(4 - 2^{4/3}\bigr).
Notando que \dfrac{1}{2}2^{4/3}=2^{4/3-1}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}, obtemos a forma simplificada
\frac{1}{2}\bigl(4 - 2^{4/3}\bigr) = 2 - 2^{1/3} = 2 - \sqrt[3]{2}.

Resposta

2 - \sqrt[3]{2}

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