Determine todas as soluções reais de:
\left(27 x^{6}\right)^{1 / 3}=9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções reais de
(27\,x^6)^{1/3} = 9.
O conteúdo principal é manipular potências e raízes, usando a propriedade de que, para a\ge0 e expoentes reais,
(a^m)^n = a^{mn},
além de saber que, para x\in\mathbb{R}, x^6\ge0 e (x^6)^{1/3} = x^2.

Passo 2

Aplicando a propriedade de potência ao produto dentro da raiz:
(27\,x^6)^{1/3} = 27^{1/3}\,(x^6)^{1/3}.
Como 27 = 3^3, temos 27^{1/3}=3. E, por x^6\ge0,
(x^6)^{1/3} = x^{6\cdot\frac13} = x^2.
Logo,
(27\,x^6)^{1/3} = 3\,x^2.

Passo 3

Substituindo na equação original:
3\,x^2 = 9.
Dividindo ambos os lados por 3,
x^2 = 3.
As soluções reais de x^2=3 são
x = \pm\sqrt{3}.

Resposta

As soluções reais são x = \sqrt{3} e x = -\sqrt{3}.

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