Resolva a inequação:
x^{2 / 3} \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{2/3} \le 4
O conteúdo é potências racionais e propriedades de funções monotônicas. Vamos usar a definição de potência x^{2/3} como raiz cúbica ao quadrado e reduzir a uma inequação quadrática.

Passo 2

Observamos que para todo x\in\mathbb{R} está bem definida
x^{2/3} = \bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2}.
Logo, a inequação original fica
\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2} \le 4.

Passo 3

Defina a variável auxiliar
t = \sqrt[3]{x}.
Então a inequação passa a ser
t^{2} \le 4.
Para resolver t^{2}\le4, lembramos que a curva t\mapsto t^{2} é simétrica e crescente para t\ge0, decrescente para t\le0. De fato,
t^{2}\le4 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 \le t \le 2.

Passo 4

Agora voltamos a x. A função t=\sqrt[3]{x} é estritamente crescente em \mathbb{R}, então podemos aplicar sua inversa x=t^{3} em cada parte da desigualdade preservando o sentido:
-2 \le t \le 2 \quad\Longrightarrow\quad (-2)^{3} \le x \le 2^{3} \quad\Longleftrightarrow\quad -8 \le x \le 8.

Resposta

[-8,\,8]

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