Determine todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica.
\frac{1}{x+1}>\frac{3}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
\frac{1}{x+1}>\frac{3}{x-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Temos uma desigualdade entre duas frações cujos denominadores são x+1 e x-2.
  • Os valores x=-1 e x=2 tornam denominadores iguais a zero; portanto esses valores são proibidos (não pertencem ao domínio da desigualdade).
  • A solução será um conjunto de intervalos da reta real, excluindo possivelmente pontos em que o denominador se anula ou em que a desigualdade for estrita e se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para um único membro, subtraindo as duas frações para comparar com zero. Faço
\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x-2}>0.
Para subtrair frações, uso o mesmo denominador comum (x+1)(x-2). Calculo o numerador combinado:
\frac{1\cdot(x-2)-3\cdot(x+1)}{(x+1)(x-2)}>0.

Passo 3

Agora desenvolvo o numerador com calma (mostrando cada passo):
1\cdot(x-2)-3\cdot(x+1)=x-2-3x-3 = -2x-5.
Portanto a desigualdade fica
\frac{-2x-5}{(x+1)(x-2)}>0.
É útil tirar o sinal negativo do numerador para simplificar o raciocínio:
\frac{-(2x+5)}{(x+1)(x-2)}>0.
Multiplicar ambos os lados por -1 inverte o sinal da desigualdade, então essa condição é equivalente a
\frac{2x+5}{(x+1)(x-2)}<0.
Ou seja, precisamos achar onde a função racional
f(x)=\frac{2x+5}{(x+1)(x-2)}
é negativa.
Breve aula sobre esse método: para uma fração \dfrac{\text{produto de fatores}}{\text{produto de fatores}}, o sinal só muda quando algum fator muda de sinal (isto é, em zeros do numerador ou do denominador). Então identificamos os pontos onde fatores se anulam e fazemos um quadro de sinais por intervalos.

Passo 4

Identifico os pontos críticos (onde um fator se anula):
  • Numerador: 2x+5=0 \Rightarrow x=-\tfrac{5}{2}.
  • Denominador: x+1=0 \Rightarrow x=-1 (proibido).
  • Denominador: x-2=0 \Rightarrow x=2 (proibido).
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos:
(-\infty,-\tfrac{5}{2}),\quad (-\tfrac{5}{2},-1),\quad (-1,2),\quad (2,\infty).
Agora vou testar o sinal de f(x) em cada um.

Passo 5

Faço um teste de sinal em cada intervalo escolhendo um ponto simples por intervalo. Para cada fator 2x+5, x+1 e x-2, determinamos se é positivo (+) ou negativo (−). Lembre-se: o produto de sinais determina o sinal da fração.
  1. Intervalo (-\infty,-\tfrac{5}{2}). Escolho x=-3.
  • 2x+5=2(-3)+5=-6+5=-1 (negativo).
  • x+1=-3+1=-2 (negativo).
  • x-2=-3-2=-5 (negativo).
    Denominador (x+1)(x-2) = (negativo)·(negativo) = positivo. Numerador é negativo. Logo f(x)=\dfrac{\text{neg}}{\text{pos}}= negativo. Então em (-\infty,-\tfrac{5}{2}) temos f(x)<0 — esses x satisfazem a desigualdade.
  1. Intervalo (-\tfrac{5}{2},-1). Escolho x=-2.
  • 2x+5=2(-2)+5=-4+5=1 (positivo).
  • x+1=-2+1=-1 (negativo).
  • x-2=-2-2=-4 (negativo).
    Denominador = (negativo)·(negativo)=positivo. Numerador positivo. Logo f(x)>0. Não satisfaz.
  1. Intervalo (-1,2). Escolho x=0.
  • 2x+5=5 (positivo).
  • x+1=1 (positivo).
  • x-2=-2 (negativo).
    Denominador = (positivo)·(negativo)=negativo. Numerador positivo. Logo f(x)=\dfrac{\text{pos}}{\text{neg}}= negativo. Satisfaz.
  1. Intervalo (2,\infty). Escolho x=3.
  • 2x+5=11 (positivo).
  • x+1=4 (positivo).
  • x-2=1 (positivo).
    Denominador positivo, numerador positivo ⇒ f(x)>0. Não satisfaz.
Resumo dos sinais: f(x)<0 em (-\infty,-\tfrac{5}{2}) e em (-1,2); f(x)>0 nos outros intervalos.

Passo 6

Agora trato os pontos de fronteira e a questão da igualdade:
  • Em x=-\tfrac{5}{2} o numerador é zero, então f(x)=0. Mas a desigualdade equivalente que resolvemos é f(x)<0 (estrita). Logo x=-\tfrac{5}{2} não entra na solução.
  • Nos pontos x=-1 e x=2 o denominador é zero, então esses pontos não pertencem ao domínio e ficam excluídos.
Portanto a solução final, em forma de união de intervalos, é
(-\infty,-\tfrac{5}{2})\cup(-1,2).

Passo 7

Representação gráfica (reta numérica): marcar com círculos abertos os pontos -\tfrac{5}{2}, -1 e 2. Colorir (sombrear) a região à esquerda de -\tfrac{5}{2} e a região entre -1 e 2.
Uma representação em texto (onde “—” indica reta, “(” e “)” círculos abertos, e trechos em maiúsculas representam as partes satisfeitas):
… — ( ) -------- ( ) -------- ( ) — …
-∞ -5/2 -1 2 +∞
De forma mais clara:
  • Sombreado em (-\infty,-\tfrac{5}{2})
  • Não sombreado em \{-\tfrac{5}{2}\} (ponto aberto)
  • Não sombreado em (-\tfrac{5}{2},-1)
  • Sombreado em (-1,2)
  • Não sombreado em \{2\} e em (2,\infty)

Resposta

(-\infty,-\tfrac{5}{2})\cup(-1,2)

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