Determine todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
Informações dadas e observações imediatas:
- Temos uma desigualdade entre duas frações cujos denominadores são
e . - Os valores
e tornam denominadores iguais a zero; portanto esses valores são proibidos (não pertencem ao domínio da desigualdade). - A solução será um conjunto de intervalos da reta real, excluindo possivelmente pontos em que o denominador se anula ou em que a desigualdade for estrita e se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro passo prático: passar tudo para um único membro, subtraindo as duas frações para comparar com zero. Faço
Para subtrair frações, uso o mesmo denominador comum
. Calculo o numerador combinado:
Passo 3
Agora desenvolvo o numerador com calma (mostrando cada passo):
Portanto a desigualdade fica
É útil tirar o sinal negativo do numerador para simplificar o raciocínio:
Multiplicar ambos os lados por
inverte o sinal da desigualdade, então essa condição é equivalente a
Ou seja, precisamos achar onde a função racional
é negativa.
Breve aula sobre esse método: para uma fração
, o sinal só muda quando algum fator muda de sinal (isto é, em zeros do numerador ou do denominador). Então identificamos os pontos onde fatores se anulam e fazemos um quadro de sinais por intervalos.
Passo 4
Identifico os pontos críticos (onde um fator se anula):
- Numerador:
. - Denominador:
(proibido). - Denominador:
(proibido).
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos:
Agora vou testar o sinal de
em cada um.
Passo 5
Faço um teste de sinal em cada intervalo escolhendo um ponto simples por intervalo. Para cada fator
,
e
, determinamos se é positivo (+) ou negativo (−). Lembre-se: o produto de sinais determina o sinal da fração.
- Intervalo
. Escolho .
-
(negativo). -
(negativo). -
(negativo).
Denominador= (negativo)·(negativo) = positivo. Numerador é negativo. Logo negativo. Então em temos — esses satisfazem a desigualdade.
- Intervalo
. Escolho .
-
(positivo). -
(negativo). -
(negativo).
Denominador = (negativo)·(negativo)=positivo. Numerador positivo. Logo. Não satisfaz.
- Intervalo
. Escolho .
-
(positivo). -
(positivo). -
(negativo).
Denominador = (positivo)·(negativo)=negativo. Numerador positivo. Logonegativo. Satisfaz.
- Intervalo
. Escolho .
-
(positivo). -
(positivo). -
(positivo).
Denominador positivo, numerador positivo ⇒. Não satisfaz.
Resumo dos sinais:
em
e em
;
nos outros intervalos.
Passo 6
Agora trato os pontos de fronteira e a questão da igualdade:
- Em
o numerador é zero, então . Mas a desigualdade equivalente que resolvemos é (estrita). Logo não entra na solução. - Nos pontos
e o denominador é zero, então esses pontos não pertencem ao domínio e ficam excluídos.
Portanto a solução final, em forma de união de intervalos, é
Passo 7
Representação gráfica (reta numérica): marcar com círculos abertos os pontos
,
e
. Colorir (sombrear) a região à esquerda de
e a região entre
e
.
Uma representação em texto (onde “—” indica reta, “(” e “)” círculos abertos, e trechos em maiúsculas representam as partes satisfeitas):
… — ( ) -------- ( ) -------- ( ) — …
-∞ -5/2 -1 2 +∞
-∞ -5/2 -1 2 +∞
De forma mais clara:
- Sombreado em
- Não sombreado em
(ponto aberto) - Não sombreado em
- Sombreado em
- Não sombreado em
e em