Determine todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica.
x^{2}-3 x+2 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números x que satisfazem a desigualdade
x^{2}-3x+2 \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio quadrático \,x^{2}-3x+2\,.
  • A desigualdade pede os valores de x onde esse polinômio é menor ou igual a zero.
  • Também foi pedido fazer a representação gráfica da solução.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar as raízes da equação associada (os pontos onde o polinômio é igual a zero):
x^{2}-3x+2=0.
Explicando a técnica de fatoração (uma forma simples e direta aqui): procurar dois números cuja soma seja o coeficiente de x com sinal negativo (isto é, -3) e cujo produto seja o termo constante 2. Esses números são -1 e -2, portanto podemos escrever
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Isso porque desenvolvendo (x-1)(x-2) obtém-se x^{2}-3x+2. Então as raízes são os valores que anulam cada fator:
x-1=0 \Rightarrow x=1,\qquad x-2=0 \Rightarrow x=2.
Obs.: se não souber fatorar, pode-se usar a fórmula de Bhaskara. Para a equação ax^{2}+bx+c=0 a solução é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-3, c=2. Aqui dá o mesmo resultado.

Passo 3

Agora vamos interpretar geometricamente e com sinal o polinômio. Para qualquer polinômio quadrático ax^{2}+bx+c:
  • Se a>0 a parábola abre para cima (tem “U”).
  • Se a<0 a parábola abre para baixo (tem “∩”).
No nosso caso a=1>0, então a parábola abre para cima. Isso significa que o valor da função f(x)=x^{2}-3x+2 é:
  • positivo quando x está suficientemente à esquerda de ambas as raízes ou à direita de ambas;
  • negativo (ou não-positivo) no intervalo entre as raízes.
Formalizando com o fatoramento:
f(x)=(x-1)(x-2).
Para analisar o sinal de f(x) podemos montar um quadro de sinais usando as raízes x=1 e x=2. Considere os três intervalos determinados por essas raízes: (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).
  • Se x<1, ambos os fatores x-1 e x-2 são negativos, logo o produto é positivo.
  • Se 1<x<2, o fator x-1 é positivo e x-2 é negativo, logo o produto é negativo.
  • Se x>2, ambos os fatores são positivos, logo o produto é positivo.
Como queremos f(x)\leq 0, isto é, onde o polinômio é negativo ou zero, selecionamos o intervalo onde o produto é negativo e também incluímos as raízes (onde é zero).

Passo 4

Portanto a solução da desigualdade é o intervalo fechado entre as raízes:
[1,2].
Isto significa: todos os x tais que 1\leq x\leq 2.

Passo 5

Representação gráfica (duas maneiras simples):
  1. Esboço da parábola y=x^{2}-3x+2:
  • A parábola cruza o eixo x nos pontos x=1 e x=2.
  • Como abre para cima, a parte da parábola que fica abaixo do eixo x está entre esses dois pontos.
  • A região onde y\leq 0 é exatamente o arco da parábola entre x=1 e x=2, incluindo os pontos finais.
  1. Representação na reta numérica (marca os pontos incluídos):
\ldots\;-\; \boxed{\;1\;}\; \longbrack{[}\; \bullet\; \longdash\; \bullet\; \boxed{\;2\;}\; \;-\;\ldots
Mais simples e claro: solução na reta:
[1,2].

Resposta

[1,2]

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