Determine todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números
que satisfazem a desigualdade
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio quadrático
. - A desigualdade pede os valores de
onde esse polinômio é menor ou igual a zero. - Também foi pedido fazer a representação gráfica da solução.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar as raízes da equação associada (os pontos onde o polinômio é igual a zero):
Explicando a técnica de fatoração (uma forma simples e direta aqui): procurar dois números cuja soma seja o coeficiente de
com sinal negativo (isto é,
) e cujo produto seja o termo constante
. Esses números são
e
, portanto podemos escrever
Isso porque desenvolvendo
obtém-se
. Então as raízes são os valores que anulam cada fator:
Obs.: se não souber fatorar, pode-se usar a fórmula de Bhaskara. Para a equação
a solução é
onde
,
,
. Aqui dá o mesmo resultado.
Passo 3
Agora vamos interpretar geometricamente e com sinal o polinômio. Para qualquer polinômio quadrático
:
- Se
a parábola abre para cima (tem “U”). - Se
a parábola abre para baixo (tem “∩”).
No nosso caso
, então a parábola abre para cima. Isso significa que o valor da função
é:
- positivo quando
está suficientemente à esquerda de ambas as raízes ou à direita de ambas; - negativo (ou não-positivo) no intervalo entre as raízes.
Formalizando com o fatoramento:
Para analisar o sinal de
podemos montar um quadro de sinais usando as raízes
e
. Considere os três intervalos determinados por essas raízes:
,
e
.
- Se
, ambos os fatores e são negativos, logo o produto é positivo. - Se
, o fator é positivo e é negativo, logo o produto é negativo. - Se
, ambos os fatores são positivos, logo o produto é positivo.
Como queremos
, isto é, onde o polinômio é negativo ou zero, selecionamos o intervalo onde o produto é negativo e também incluímos as raízes (onde é zero).
Passo 4
Portanto a solução da desigualdade é o intervalo fechado entre as raízes:
Isto significa: todos os
tais que
.
Passo 5
Representação gráfica (duas maneiras simples):
- Esboço da parábola
:
- A parábola cruza o eixo
nos pontos e . - Como abre para cima, a parte da parábola que fica abaixo do eixo
está entre esses dois pontos. - A região onde
é exatamente o arco da parábola entre e , incluindo os pontos finais.
- Representação na reta numérica (marca os pontos incluídos):
Mais simples e claro: solução na reta: