Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Para decidir onde f é contínua, vamos separar em dois casos: pontos fora da origem e o ponto (0,0).

Passo 2

Seja (x_{0},y_{0})\neq(0,0). Nesse ponto o denominador x^{2}+y^{2} não é zero, logo
f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não-nulo. Daí f é contínua em todo (x_{0},y_{0})\neq(0,0).

Passo 3

Verificamos a continuidade em (0,0). Precisamos do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}
e comparar com f(0,0)=0. Pelo caminho y=x temos
\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{2x}{2x^{2}} =\frac1{x},
que não tende a um número finito quando x\to0. Logo o limite não existe (nem é igual a zero), e f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)\neq(0,0) e é descontínua em (0,0).

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