Determine todos os pontos em que a função é contínua.
G(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{|x|+|y|} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
G(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede todos os pontos em que G é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar que quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula, além de verificar a continuidade no ponto (0,0) usando limites.

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então \lvert x\rvert+\lvert y\rvert>0. A função
(x,y)\mapsto x\,y
é contínua em toda \mathbb{R}^2 e a função
(x,y)\mapsto \lvert x\rvert+\lvert y\rvert
também é contínua em toda \mathbb{R}^2. Como o denominador nunca se anula em (x,y)\neq(0,0), o quociente
(x,y)\mapsto \frac{x\,y}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}
é contínuo em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}=G(0,0)=0.
Usamos a desigualdade
\left|\frac{x\,y}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}\right| \le \min\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\},
que vale porque, se por exemplo \lvert x\rvert\le\lvert y\rvert, então \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\ge\lvert y\rvert e
\frac{\lvert x\,y\rvert}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert} \le\frac{\lvert x\rvert\lvert y\rvert}{\lvert y\rvert} =\lvert x\rvert,
e análogo trocando x por y. Como \min\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o limite da fração é 0. Logo G é contínua em (0,0).

Resposta

A função G é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2.

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