Determine todos os pontos do gráfico da função y=x^3-x para os quais a reta tangente é paralela a reta 3 x+4 y=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os pontos no gráfico da função $ y = x^{3} - x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 3x + 4y = 7 $. Vamo usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e compará-la com a da reta dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta $ 3x + 4y = 7 $. Vamos colocar essa equação na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Começando com $ 3x + 4y = 7 $:
3x + 4y = 7
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é $ -\frac{3}{4} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{3} - x $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = x^3 - x

Passo 4

Queremos que a inclinação da tangente seja igual à inclinação da reta dada, ou seja:
3x^2 - 1 = -34
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.

Passo 5

Resolvendo a equação:
3x^2 - 1 = -34 3x^2 = -34 + 1 3x^2 = 14 x^2 = 112 x = pm 12raiz3 = pm raiz36

Passo 6

Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na função original $ y = x^{3} - x $.
Para $ x = \frac{\sqrt{3}}{6} $:
x
Para $ x = -\frac{\sqrt{3}}{6} $:
y

Resposta

Os pontos no gráfico de $ y = x^{3} - x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 3x + 4y = 7 $ são:
y = x^3 - x

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