Determine todos os pontos do gráfico da função
para os quais a reta tangente é paralela a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os pontos no gráfico da função $ y = x^{3} - x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 3x + 4y = 7 $. Vamo usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e compará-la com a da reta dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta $ 3x + 4y = 7 $. Vamos colocar essa equação na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Começando com $ 3x + 4y = 7 $:
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é $ -\frac{3}{4} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{3} - x $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Queremos que a inclinação da tangente seja igual à inclinação da reta dada, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.
Passo 5
Resolvendo a equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na função original $ y = x^{3} - x $.
Para $ x = \frac{\sqrt{3}}{6} $:
Para $ x = -\frac{\sqrt{3}}{6} $:
Resposta
Os pontos no gráfico de $ y = x^{3} - x $ onde a reta tangente é paralela à reta $ 3x + 4y = 7 $ são: