Verificar se as séries sumn=1^infty(-1)^n+1 an, com as an dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a) a2 n-1=1raizn+1-1 e a2 n=1raizn+1+1
b) a2 n-1=12^n-1 e a2 n=13^2 n-1
c) a2 n-1=12 n-1 e a2 n=13^n
d) a2 n-1=14 n-1 e a2 n=14 n+3

Passo 1

O enunciado pede para verificar o comportamento das séries ∑_{n=1}^∞ (–1)^{n+1} a_n em quatro casos distintos de a_n. Não podemos usar o Critério da Série Alternada porque (a_n) não é monotônica. Em vez disso, vamos agrupar termos de dois em dois, estudando a sequência reduzida e a soma dos pares. Para cada série, definimos
bk = a2k-1 - a2k
e analisamos ∑ b_k. Se ∑ b_k diverge então a série original diverge; se ∑ b_k converge e a_n→0 então a série original converge. Para decidir se é convergência absoluta, comparamos ∑ a_n.

Passo 2

Para a) temos a_{2n-1}=1/(√(n+1)–1) e a_{2n}=1/(√(n+1)+1). Logo
bn = 1raizn+1-1 - 1raizn+1+1 = (raizn+1+1)-(raizn+1-1)(raizn+1-1)(raizn+1+1) = 2n
Como ∑2/n diverge (série harmônica), ∑ b_n diverge e a série alternada original diverge.

Passo 3

Para b) temos a_{2n-1}=1/2^{n-1} e a_{2n}=1/3^{2n-1}. Então
bn = 12^n-1 - 13^2n-1 = 22^n - 39^n
Ambas as somas ∑2/2^n e ∑3/9^n convergem (séries geométricas), logo ∑ b_n converge, a_n→0 e portanto ∑(–1)^{n+1}a_n converge. Além disso, ∑a_n = ∑1/2^{n-1} + ∑1/3^{2n-1} também converge, logo a série é absolutamente convergente.

Passo 4

Para c) temos a_{2n-1}=1/(2n-1) e a_{2n}=1/3^n. Logo
bn = 12n-1 - 13^n
Como ∑1/(2n-1) diverge (meia harmônica) e ∑1/3^n converge, o comportamento de ∑b_n é divergente. Logo a série alternada original diverge.

Passo 5

Para d) temos a_{2n-1}=1/(4n-1) e a_{2n}=1/(4n+3). Então
bn = 14n-1 - 14n+3 = 4(4n-1)(4n+3) sim 14n^2,
portanto ∑b_n converge (p=2). Como a_n→0, ∑(–1)^{n+1}a_n converge. Mas ∑a_n = ∑1/(4n-1) + ∑1/(4n+3) diverge (duas subsequências harmônicas), logo é convergência condicional.

Resposta

a) Diverge
b) Converge absolutamente
c) Diverge
d) Converge condicionalmente

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