Verificar se as séries
, com as
dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar o comportamento das séries ∑_{n=1}^∞ (–1)^{n+1} a_n em quatro casos distintos de a_n. Não podemos usar o Critério da Série Alternada porque (a_n) não é monotônica. Em vez disso, vamos agrupar termos de dois em dois, estudando a sequência reduzida e a soma dos pares. Para cada série, definimos
e analisamos ∑ b_k. Se ∑ b_k diverge então a série original diverge; se ∑ b_k converge e a_n→0 então a série original converge. Para decidir se é convergência absoluta, comparamos ∑ a_n.
Passo 2
Para a) temos a_{2n-1}=1/(√(n+1)–1) e a_{2n}=1/(√(n+1)+1). Logo
Como ∑2/n diverge (série harmônica), ∑ b_n diverge e a série alternada original diverge.
Passo 3
Para b) temos a_{2n-1}=1/2^{n-1} e a_{2n}=1/3^{2n-1}. Então
Ambas as somas ∑2/2^n e ∑3/9^n convergem (séries geométricas), logo ∑ b_n converge, a_n→0 e portanto ∑(–1)^{n+1}a_n converge. Além disso, ∑a_n = ∑1/2^{n-1} + ∑1/3^{2n-1} também converge, logo a série é absolutamente convergente.
Passo 4
Para c) temos a_{2n-1}=1/(2n-1) e a_{2n}=1/3^n. Logo
Como ∑1/(2n-1) diverge (meia harmônica) e ∑1/3^n converge, o comportamento de ∑b_n é divergente. Logo a série alternada original diverge.
Passo 5
Para d) temos a_{2n-1}=1/(4n-1) e a_{2n}=1/(4n+3). Então
portanto ∑b_n converge (p=2). Como a_n→0, ∑(–1)^{n+1}a_n converge. Mas ∑a_n = ∑1/(4n-1) + ∑1/(4n+3) diverge (duas subsequências harmônicas), logo é convergência condicional.
Resposta
a) Diverge
b) Converge absolutamente
c) Diverge
d) Converge condicionalmente
b) Converge absolutamente
c) Diverge
d) Converge condicionalmente