i) Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
a)
b)
c)
d)
fixo.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Neste exercício vamos verificar a convergência ou divergência das séries usando o teste da integral. O teste da integral afirma que, se existe uma função f(x) positiva, contínua e decrescente para x≥a, então a série ∑_{n=a}^∞ f(n) e a integral imprópria ∫_a^∞ f(x) dx convergem ou divergem conjuntamente.
Passo 2
Para a série
, definimos
. Observamos que para x≥1, f é positiva e decrescente (quando p é fixo). Aplicando o teste da integral, calculamos
Fazendo a mudança de variável
, temos
e, quando x vai de 1 a ∞, t vai de 0 a ∞. A integral fica
que converge se, e somente se,
. Logo, a série converge para
e diverge para
.
Passo 3
Na série
, temos
. Tomamos
, que é positiva e decrescente para x≥1. A integral associada é
que é finita. Pelo teste da integral, a série converge.
Passo 4
Para a série
, definimos
, positiva e decrescente para x≥1. Calculamos
Fazendo
, vem
e quando x vai de 1 a ∞, u vai de e a ∞. A integral torna-se
que é finita. Pelo teste da integral, a série converge.
Passo 5
Na série
, tomamos
, positiva e decrescente para x≥2. Aplicamos o teste da integral:
Fazendo
, temos
e, quando x vai de 2 a ∞, t vai de
a ∞. A integral vira
que converge se, e somente se,
ou seja
. Portanto, a série converge para
e diverge para
.
Resposta
a) converge se p<-1 e diverge se p\u2265-1
b) converge (é p-série com expoente 3/2>1)
c) converge (integral imprópria finita: )
d) converge se p>1 e diverge se p\u2264=1
b) converge (é p-série com expoente 3/2>1)
c) converge (integral imprópria finita:
d) converge se p>1 e diverge se p\u2264=1