i) Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
a) sumn=1 (ln n)^pn
b) sumn=1 1n raizn
c) sumn=1 e^n1+e^2 n
d) sumn=2^infty 1n(ln n)^p, p in R fixo.

Passo 1

Neste exercício vamos verificar a convergência ou divergência das séries usando o teste da integral. O teste da integral afirma que, se existe uma função f(x) positiva, contínua e decrescente para x≥a, então a série ∑_{n=a}^∞ f(n) e a integral imprópria ∫_a^∞ f(x) dx convergem ou divergem conjuntamente.

Passo 2

Para a série sumn=1^infty (ln n)^pn, definimos f(x)=(ln x)^px. Observamos que para x≥1, f é positiva e decrescente (quando p é fixo). Aplicando o teste da integral, calculamos
integral1^infty (ln x)^px ,dx
Fazendo a mudança de variável t=ln x, temos dt=dx/x e, quando x vai de 1 a ∞, t vai de 0 a ∞. A integral fica
integral0^infty t^p ,dt,
que converge se, e somente se, p<-1. Logo, a série converge para p<-1 e diverge para p>= -1.

Passo 3

Na série sumn=1^infty 1nraizn, temos 1nraizn=n^-3/2. Tomamos f(x)=x^-3/2, que é positiva e decrescente para x≥1. A integral associada é
integral1^infty x^-3/2 ,dx =[ -2x^-1/2 ]1^infty=2,
que é finita. Pelo teste da integral, a série converge.

Passo 4

Para a série sumn=1^infty e^n1+e^2n, definimos f(x)=e^x1+e^2x, positiva e decrescente para x≥1. Calculamos
integral1^infty e^x1+e^2x ,dx
Fazendo u=e^x, vem du=e^xdx e quando x vai de 1 a ∞, u vai de e a ∞. A integral torna-se
integrale^infty 11+u^2 ,du =l[arctan(u)r]e^infty=pi2-arctan(e),
que é finita. Pelo teste da integral, a série converge.

Passo 5

Na série sumn=2^infty 1n(ln n)^p, tomamos f(x)=1x(ln x)^p, positiva e decrescente para x≥2. Aplicamos o teste da integral:
integral2^infty 1x(ln x)^p ,dx
Fazendo t=ln x, temos dt=dx/x e, quando x vai de 2 a ∞, t vai de ln2 a ∞. A integral vira
integralln2^infty t^-p ,dt,
que converge se, e somente se, -p<-1 ou seja p>1. Portanto, a série converge para p>1 e diverge para p<=1.

Resposta

a) converge se p<-1 e diverge se p\u2265-1
b) converge (é p-série com expoente 3/2>1)
c) converge (integral imprópria finita: pi/2-arctan(e))
d) converge se p>1 e diverge se p\u2264=1

Exercícios relacionados