Determine todos os pontos no hiperboloide de duas folhas
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A superfície é o hiperboloide de duas folhas dado por
. - O plano de referência é
. - O que se pede: determinar todos os pontos da superfície cujos planos tangentes são paralelos ao plano
.
Informações úteis que já tenho (sem desenvolver nada ainda):
- Para uma superfície implícita
, o vetor gradiente no ponto é normal ao plano tangente nesse ponto. - Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares (um é múltiplo escalar do outro).
Passo 2
Escrevo a superfície como nível de uma função e calculo o gradiente (que será a normal do plano tangente).
Defino
Então o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Calculo cada componente:
Portanto
Explicação curta: esse vetor aponta na direção de máxima variação de
e, para superfícies
, é perpendicular à superfície — por isso é normal ao plano tangente.
Passo 3
Encontro o vetor normal do plano
e imposto a condição de paralelismo.
Reescrevo o plano como:
então um vetor normal é
Do argumento acima, o plano tangente em um ponto
tem vetor normal
. Para que o plano tangente seja paralelo a
precisamos que esses vetores sejam colineares, isto é, exista
tal que
Escrevo o sistema componente a componente:
Simplificando (dividindo por 2 quando convém) obtenho relações entre as coordenadas:
Ou eliminando
diretamente:
Logo
Passo 4
Imponho que o ponto
satisfaça a equação do hiperboloide e verifico se há soluções reais.
Substituo
e
em
:
Calculo termo a termo:
Portanto a equação fica
Isto implica
o que não tem solução em
. Ou seja, não existem
reais que satisfaçam simultaneamente as relações de paralelismo e a equação da superfície.
Passo 5
Conclusão e interpretação final (curta e encorajadora): a tentativa mostrou que qualquer ponto hipotético teria que satisfazer
, impossível nos reais. Assim, não há pontos reais no hiperboloide cujos planos tangentes sejam paralelos ao plano
. Pode parecer chato — mas é um resultado simples: a direção normal exigida pela paralelidade não é compatível com a equação do hiperboloide.
Resposta
Não existem pontos reais do hiperboloide
cujo plano tangente seja paralelo ao plano
.