Determine todos os pontos no hiperboloide de duas folhas -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z=x-y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A superfície é o hiperboloide de duas folhas dado por -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1.
  • O plano de referência é z=x-y.
  • O que se pede: determinar todos os pontos da superfície cujos planos tangentes são paralelos ao plano z=x-y.
Informações úteis que já tenho (sem desenvolver nada ainda):
  • Para uma superfície implícita F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto é normal ao plano tangente nesse ponto.
  • Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares (um é múltiplo escalar do outro).

Passo 2

Escrevo a superfície como nível de uma função e calculo o gradiente (que será a normal do plano tangente).
Defino
F(x,y,z) = -x^{2}-y^{2}+z^{2}-1.
Então o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Calculo cada componente:
\frac{\partial F}{\partial x} = -2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y} = -2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z} = 2z.
Portanto
\nabla F(x,y,z)=(-2x,\,-2y,\,2z).
Explicação curta: esse vetor aponta na direção de máxima variação de F e, para superfícies F=0, é perpendicular à superfície — por isso é normal ao plano tangente.

Passo 3

Encontro o vetor normal do plano z=x-y e imposto a condição de paralelismo.
Reescrevo o plano como:
x - y - z = 0,
então um vetor normal é
\mathbf{n}_0 = (1,\,-1,\,-1).
Do argumento acima, o plano tangente em um ponto (x_0,y_0,z_0) tem vetor normal \nabla F(x_0,y_0,z_0)=(-2x_0,-2y_0,2z_0). Para que o plano tangente seja paralelo a z=x-y precisamos que esses vetores sejam colineares, isto é, exista \lambda\in\mathbb{R} tal que
(-2x_0,\,-2y_0,\,2z_0)=\lambda(1,\,-1,\,-1).
Escrevo o sistema componente a componente:
-2x_0 = \lambda, \qquad -2y_0 = -\lambda, \qquad 2z_0 = -\lambda.
Simplificando (dividindo por 2 quando convém) obtenho relações entre as coordenadas:
- x_0 = \frac{\lambda}{2},\qquad - y_0 = -\frac{\lambda}{2},\qquad z_0 = -\frac{\lambda}{2}.
Ou eliminando \lambda diretamente:
- x_0 = y_0 = - z_0.
Logo
y_0 = -x_0,\qquad z_0 = x_0.

Passo 4

Imponho que o ponto (x_0,y_0,z_0) satisfaça a equação do hiperboloide e verifico se há soluções reais.
Substituo y_0=-x_0 e z_0=x_0 em -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1:
- x_0^{2} - (-x_0)^{2} + (x_0)^{2} = 1.
Calculo termo a termo:
- x_0^{2} - x_0^{2} + x_0^{2} = -x_0^{2}.
Portanto a equação fica
- x_0^{2} = 1.
Isto implica
x_0^{2} = -1,
o que não tem solução em \mathbb{R}. Ou seja, não existem x_0,y_0,z_0 reais que satisfaçam simultaneamente as relações de paralelismo e a equação da superfície.

Passo 5

Conclusão e interpretação final (curta e encorajadora): a tentativa mostrou que qualquer ponto hipotético teria que satisfazer x_0^{2}=-1, impossível nos reais. Assim, não há pontos reais no hiperboloide cujos planos tangentes sejam paralelos ao plano z=x-y. Pode parecer chato — mas é um resultado simples: a direção normal exigida pela paralelidade não é compatível com a equação do hiperboloide.

Resposta

Não existem pontos reais do hiperboloide -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 cujo plano tangente seja paralelo ao plano z=x-y.

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