Calcule as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, se z=z(x, y) satisfaz
z^{2}(x+y)+x y+e^{x z-y z}=2

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita que relaciona z, x e y:
z^{2}(x+y)+x y+e^{x z-y z}=2.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} (derivada parcial de z em relação a x, mantendo y constante).
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} (derivada parcial de z em relação a y, mantendo x constante).
Informações relevantes que temos:
  • z=z(x,y) depende de x e y. Logo, ao derivar termos com z devemos usar a regra da cadeia.
  • A equação é igual a uma constante ( 2), então a derivada de todo o lado direito é 0.

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} diferenciando a equação dada em relação a x, tratando y como constante. Antes de derivar, lembro rapidamente duas regras que usarei:
  • Regra da cadeia: se z=z(x,y) e temos uma função F(z), então \dfrac{\partial}{\partial x}F(z)=F'(z)\,\dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Agora derivando termo a termo.
  1. Para \;z^{2}(x+y)\;: é produto entre z^{2} (função de x via z) e (x+y).
    • Derivada de z^{2} em relação a x é 2z\,\dfrac{\partial z}{\partial x} (regra da cadeia).
    • Derivada de (x+y) em relação a x é 1 (pois y é constante).
      Aplicando produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{2}(x+y)\big) = (x+y)\cdot 2z\,\frac{\partial z}{\partial x} + z^{2}\cdot 1.
  1. Para \;x y\;: com y constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
  2. Para \;e^{x z-y z}\;: seja u(x)=x z(x,y)-y z(x,y). Então \dfrac{\partial}{\partial x}e^{u}=e^{u}\,u_x. Agora
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x z) - \frac{\partial}{\partial x}(y z) = z + x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial x} = z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial x}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}e^{x z-y z} = e^{x z-y z}\Big(z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial x}\Big).
Somando as derivadas e igualando a 0 (derivada do lado direito):
(x+y)2z\,\frac{\partial z}{\partial x} + z^{2} + y + e^{x z-y z}\Big(z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial x}\Big) = 0.
Agrupando os termos que contêm \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\Big(2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)\Big)\frac{\partial z}{\partial x} + \big(z^{2} + y + e^{x z-y z}z\big)=0.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{z^{2} + y + e^{x z-y z}z}{2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)}.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial z}{\partial y} diferenciando a equação original em relação a y, tratando x como constante. Usaremos novamente regra da cadeia e do produto.
  1. Para \;z^{2}(x+y)\;: derivando em relação a y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(z^{2}(x+y)\big) = (x+y)\cdot 2z\,\frac{\partial z}{\partial y} + z^{2}\cdot 1.
(agora \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.)
  1. Para \;x y\;: com x constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
  2. Para \;e^{x z-y z}\;: seja novamente u(x,y)=x z-y z. Então
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x z) - \frac{\partial}{\partial y}(y z) = x\frac{\partial z}{\partial y} - \big(z + y\frac{\partial z}{\partial y}\big) = -z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial y}.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}e^{x z-y z} = e^{x z-y z}\Big(-z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial y}\Big).
Somando e igualando a 0:
(x+y)2z\,\frac{\partial z}{\partial y} + z^{2} + x + e^{x z-y z}\Big(-z + (x-y)\frac{\partial z}{\partial y}\Big) = 0.
Agrupando os termos com \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\Big(2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)\Big)\frac{\partial z}{\partial y} + \big(z^{2} + x - e^{x z-y z}z\big)=0.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{z^{2} + x - e^{x z-y z}z}{2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\,\frac{z^{2} + y + e^{x z-y z}z}{2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)}
\frac{\partial z}{\partial y} = -\,\frac{z^{2} + x - e^{x z-y z}z}{2z(x+y) + e^{x z-y z}(x-y)}

Exercícios relacionados