Calcule as derivadas parciais
e
, se
satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita que relaciona
,
e
:
O que é pedido:
- Calcular
(derivada parcial de em relação a , mantendo constante). - Calcular
(derivada parcial de em relação a , mantendo constante).
Informações relevantes que temos:
-
depende de e . Logo, ao derivar termos com devemos usar a regra da cadeia. - A equação é igual a uma constante (
), então a derivada de todo o lado direito é .
Passo 2
Vamos calcular
diferenciando a equação dada em relação a
, tratando
como constante. Antes de derivar, lembro rapidamente duas regras que usarei:
- Regra da cadeia: se
e temos uma função , então . - Regra do produto:
.
Agora derivando termo a termo.
- Para
: é produto entre (função de via ) e . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é (pois é constante).
Aplicando produto:
- Derivada de
-
Para
: com constante, . -
Para
: seja . Então . Agora
Portanto
Somando as derivadas e igualando a
(derivada do lado direito):
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 3
Agora calculamos
diferenciando a equação original em relação a
, tratando
como constante. Usaremos novamente regra da cadeia e do produto.
- Para
: derivando em relação a ,
(agora
.)
-
Para
: com constante, . -
Para
: seja novamente . Então
Logo
Somando e igualando a
:
Agrupando os termos com
:
Isolando
: