Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto ( 2,1,2 ) no elipsoide x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 intersecta a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36 ?
Passo 1
O enunciado fornece:
O ponto por onde passa a reta normal: (2,1,2).
A superfície onde esse ponto está: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
A esfera com a qual queremos intersectar a reta normal: x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
O que é pedido:
Determinar os pontos de interseção entre a reta normal à superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no ponto (2,1,2) e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
Passo 2
Entender qual é a direção da reta normal no ponto dado.
Fato importante (explicação didática): para uma superfície dada por uma equação F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Checagem rápida: (4)^{2}+(2)^{2}+(4)^{2}=16+4+16=36 e (-4)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}=36, portanto ambos estão na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
Passo 5
Interpretação geométrica curta (motivacional): a reta normal passa radialmente pelo centro da esfera (origem), por isso ela corta a esfera de raio maior em dois pontos simétricos em relação à origem — um na direção do vetor normal e outro na direção oposta.