Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto ( 2,1,2 ) no elipsoide x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 intersecta a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36 ?

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O ponto por onde passa a reta normal: (2,1,2).
  • A superfície onde esse ponto está: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • A esfera com a qual queremos intersectar a reta normal: x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
O que é pedido:
  • Determinar os pontos de interseção entre a reta normal à superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no ponto (2,1,2) e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.

Passo 2

Entender qual é a direção da reta normal no ponto dado.
Fato importante (explicação didática): para uma superfície dada por uma equação F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Aqui podemos tomar
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-9,
pois F=0 representa a superfície dada. Então:
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z).
No ponto (2,1,2) o gradiente vale
\nabla F(2,1,2)=(4,\,2,\,4).
Esse é um vetor normal. Para definir a reta é mais simples usar um vetor de direção proporcional, por exemplo
(2,\,1,\,2),
que é simplesmente \tfrac{1}{2}(4,2,4). Usar esse vetor facilita os cálculos e mantém a mesma direção.
Assim a reta normal passa por (2,1,2) com parâmetro t\in\mathbb{R} e equações paramétricas:
\begin{cases} x=2+2t,\\[4pt] y=1+t,\\[4pt] z=2+2t. \end{cases}]

Passo 3

Agora impomos que um ponto da reta pertença à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36. Substituímos as coordenadas paramétricas na equação da esfera:
(2+2t)^{2}+(1+t)^{2}+(2+2t)^{2}=36.
Agrupando os termos iguais:
2(2+2t)^{2}+(1+t)^{2}=36.
Repare que (2+2t)^{2}=4(1+t)^{2}. Substituindo:
2\cdot 4(1+t)^{2}+(1+t)^{2}=36.
8(1+t)^{2}+(1+t)^{2}=36.
9(1+t)^{2}=36.
Dividindo por 9:
(1+t)^{2}=4.
Extraindo raiz (duas possibilidades):
1+t=2\quad\text{ou}\quad 1+t=-2.
Logo
t=1\quad\text{ou}\quad t=-3.

Passo 4

Encontrar os pontos correspondentes a cada valor de t.
Para t=1:
x=2+2\cdot 1=4,\qquad y=1+1=2,\qquad z=2+2\cdot 1=4.
Logo o ponto é (4,2,4).
Para t=-3:
x=2+2(-3)=2-6=-4,\qquad y=1+(-3)=-2,\qquad z=2+2(-3)=2-6=-4.
Logo o ponto é (-4,-2,-4).
Checagem rápida: (4)^{2}+(2)^{2}+(4)^{2}=16+4+16=36 e (-4)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}=36, portanto ambos estão na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.

Passo 5

Interpretação geométrica curta (motivacional): a reta normal passa radialmente pelo centro da esfera (origem), por isso ela corta a esfera de raio maior em dois pontos simétricos em relação à origem — um na direção do vetor normal e outro na direção oposta.

Resposta

(4,2,4)
(-4,-2,-4)

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