Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
é diferenciável e calcular sua derivada. O conteúdo principal aqui é análise de domínio (pois há um logaritmo) e uso da regra da cadeia para derivação de funções compostas.
Passo 2
Para que
esteja bem definida, precisamos ter
pois o argumento do
deve ser positivo. Como
exatamente quando
, o domínio de
é
Passo 3
No interior do domínio
, a função
é diferenciável e o logaritmo natural também é diferenciável em valores positivos. Logo,
é diferenciável em todo
.
Passo 4
Usando a regra da cadeia, escrevemos
Temos
e
Portanto,
Resposta
A função
é diferenciável em todo
e sua derivada é