Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
f(x)=ln (arctan x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
f(x)=lnl(arctan xr)
é diferenciável e calcular sua derivada. O conteúdo principal aqui é análise de domínio (pois há um logaritmo) e uso da regra da cadeia para derivação de funções compostas.

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida, precisamos ter
arctan x>0,
pois o argumento do ln deve ser positivo. Como arctan x>0 exatamente quando x>0, o domínio de f é
xinRmid x>0

Passo 3

No interior do domínio (0,infty), a função arctan x é diferenciável e o logaritmo natural também é diferenciável em valores positivos. Logo, f é diferenciável em todo (0,infty).

Passo 4

Usando a regra da cadeia, escrevemos
f(x)=lnl(u(x)r) com u(x)=arctan x
Temos
u'(x)=ddxarctan x=11+x^2,
e
dduln(u)=1u
Portanto,
f'(x) =ddxlnl(u(x)r) =u'(x)u(x) =tfrac11+x^2arctan x =1(1+x^2),arctan x

Resposta

A função f(x)=ln(arctan x) é diferenciável em todo x>0 e sua derivada é
f'(x)=1(1+x^2),arctan x

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